Uma barra fina uniforme de comprimento 2 m e massa 1 kg é livre para girar por um pino sem atrito passando por uma extremidade. A barra é liberada do repouso na posição horizontal. Determine a velocidade que a outra extremidade da barra alcança na sua posição mais baixa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra fina que pode girar em torno de um pino e quer saber quanta velocidade a outra extremidade da barra terá quando ela chegar na posição mais baixa. A gente vai usar conceitos de dinâmica rotacional e energia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a barra tem momental de inércia, que é uma medida de quanta resistência ela oferece a rotações. Para uma barra fina de comprimento
e massa
rotando em torno de uma extremidade, a fórmula do momental de inércia é:
Passo 3
Como a barra está sendo liberada do repouso na posição horizontal e vai até a posição vertical, vamos usar o Princípio da Conservação da Energia. A energia potencial gravitacional inicial vai se transformar em energia cinética rotacional no final.
A energia potencial inicial (
) quando a barra está horizontal é:
Porque o centro de massa está a
do pino.
Na posição vertical, toda essa energia potencial virou energia cinética rotacional (
):
Onde
é a velocidade angular que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos igualar a energia potencial inicial à energia cinética final:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Simplificando os termos:
Então:
Passo 5
Agora, queremos a velocidade linear da extremidade da barra, que está a uma distância
do pino. A relação entre a velocidade linear (
) e a velocidade angular (
) é:
Substituindo
:
Resposta
A velocidade da extremidade da barra na posição mais baixa é:
Portanto, a velocidade alcançada é aproximadamente 5,42 metros por segundo.