Uma barra fina uniforme de comprimento 2 m e massa 1 kg é livre para girar por um pino sem atrito passando por uma extremidade. A barra é liberada do repouso na posição horizontal. Determine a velocidade que a outra extremidade da barra alcança na sua posição mais baixa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra fina que pode girar em torno de um pino e quer saber quanta velocidade a outra extremidade da barra terá quando ela chegar na posição mais baixa. A gente vai usar conceitos de dinâmica rotacional e energia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a barra tem momental de inércia, que é uma medida de quanta resistência ela oferece a rotações. Para uma barra fina de comprimento I = 13 m L^2 e massa rotando em torno de uma extremidade, a fórmula do momental de inércia é:

Passo 3

Como a barra está sendo liberada do repouso na posição horizontal e vai até a posição vertical, vamos usar o Princípio da Conservação da Energia. A energia potencial gravitacional inicial vai se transformar em energia cinética rotacional no final.
A energia potencial inicial ( Ui = m g L2 ) quando a barra está horizontal é:
Kf = 12 I omega^2
Porque o centro de massa está a do pino.
Na posição vertical, toda essa energia potencial virou energia cinética rotacional ( ):
Onde é a velocidade angular que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos igualar a energia potencial inicial à energia cinética final:
m g L2 = 12 I omega^2
Substituindo m g L2 = 12 ( 13 m L^2 ) omega^2 pela expressão que encontramos:
g L2 = 13 L^2 omega^2 implies omega^2 = 3g2L
Simplificando os termos:
omega = raiz3g2L
Então:

Passo 5

Agora, queremos a velocidade linear da extremidade da barra, que está a uma distância v = omega L do pino. A relação entre a velocidade linear ( v = L raiz3g2L = raiz3gL2 ) e a velocidade angular ( ) é:
Substituindo :

Resposta

A velocidade da extremidade da barra na posição mais baixa é:
v = raiz3 g L2 approx raiz3 times 9,8, m/s^2 times 2, m2 = raiz29,4 approx 5,42, m/s
Portanto, a velocidade alcançada é aproximadamente 5,42 metros por segundo.

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