Mostre que a aceleração da gravidade a uma altura h acima da Terra pode ser aproximada (para h pequeno, ou seja, h ll RT ) por gh=(1-2 h / RT) g, onde g é a aceleração da gravidade na superfície da Terra e RT é o raio da Terra. Qual o valor de gn no topo do Monte Everest (cuja altura é 8,85 km )? Dica: use o resultado muito útil (1+x)^n approx 1+n x para x<<1 (este resultado é a chamada expansão binomial e vale para n positivo ou negativo). Utilize essa mesma expansão binomial para mostrar que a diferença de energia potencial gravitacional para um corpo de massa m que é levado da superfície da Terra a uma altura h (com h ), recupera o resultado conhecido: De.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que a aceleração da gravidade a uma altura acima da Terra pode ser aproximada por quando é bem menor que o raio da Terra ( ). Além disso, precisamos calcular o valor de no topo do Monte Everest, que tem uma altura de km. Para isso, vamos usar a expansão binomial válida para . Também vamos aplicar essa expansão para mostrar que a diferença de energia potencial gravitacional .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração da gravidade em uma altura gh = G M(RT + h)^2 acima da Terra é dada pela fórmula da gravitação universal:
onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa da Terra,
  • é o raio da Terra,
  • é a altura acima da superfície.

Passo 3

Sabemos que na superfície da Terra, a aceleração da gravidade é:
g = G MRT^2
Queremos expressar ghg = G M(RT + h)^2G MRT^2 = (RTRT + h)^2 em termos de . Para isso, dividimos por :

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão (11 + hRT)^2 = (1 + hRT)^-2 . Podemos reescrever isso como:
Aqui, observamos que é muito pequeno, já que (por exemplo, km e km).

Passo 5

Aplicando a expansão binomial (1 + hRT)^-2 approx 1 - 2 cdot hRT = 1 - 2hRT para ghg approx 1 - 2hRT e gh approx (1 - 2hRT) g , temos:
Portanto,
E multiplicando ambos os lados por :
Isso confirma a primeira parte do exercício.

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor de gn approx (1 - 2 times 88856.371 times 10^6) g no topo do Monte Everest. Sabemos que km = m e m. Substituindo na fórmula aproximada:

Passo 7

Calculando o termo dentro do parênteses:
2 times 88856.371 times 10^6 = 177706.371 times 10^6 approx 0,002785
Então,
gn approx (1 - 0,002785) g = 0,997215 , g

Passo 8

Sabemos que gn approx 0,997215 times 9,81 approx 9,78 , m/s^2 . Portanto,

Passo 9

Agora, vamos mostrar que a diferença de energia potencial gravitacional De para um corpo de massa Ug = -G M mr ao ser levado da superfície da Terra a uma altura De com é:
Sabemos que a energia potencial gravitacional é dada por:
A diferença de energia ao subir de para é:

Passo 10

Fatorando De:
De
Como , podemos aproximar , então:

Passo 11

Lembrando que De, substituímos na expressão:
E assim, demonstramos que a diferença de energia potencial gravitacional é .

Resposta

A aceleração da gravidade no topo do Monte Everest é aproximadamente .

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