Mostre que a aceleração da gravidade a uma altura h acima da Terra pode ser aproximada (para
pequeno, ou seja,
) por
, onde g é a aceleração da gravidade na superfície da Terra e RT é o raio da Terra. Qual o valor de
no topo do Monte Everest (cuja altura é
)? Dica: use o resultado muito útil
para
(este resultado é a chamada expansão binomial e vale para n positivo ou negativo). Utilize essa mesma expansão binomial para mostrar que a diferença de energia potencial gravitacional para um corpo de massa m que é levado da superfície da Terra a uma altura h (com
), recupera o resultado conhecido:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que a aceleração da gravidade a uma altura
acima da Terra pode ser aproximada por
quando
é bem menor que o raio da Terra (
). Além disso, precisamos calcular o valor de
no topo do Monte Everest, que tem uma altura de
km. Para isso, vamos usar a expansão binomial
válida para
. Também vamos aplicar essa expansão para mostrar que a diferença de energia potencial gravitacional
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração da gravidade em uma altura
acima da Terra é dada pela fórmula da gravitação universal:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra, -
é o raio da Terra, -
é a altura acima da superfície.
Passo 3
Sabemos que na superfície da Terra, a aceleração da gravidade é:
Queremos expressar
em termos de
. Para isso, dividimos
por
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão
. Podemos reescrever isso como:
Aqui, observamos que
é muito pequeno, já que
(por exemplo,
km e
km).
Passo 5
Aplicando a expansão binomial
para
e
, temos:
Portanto,
E multiplicando ambos os lados por
:
Isso confirma a primeira parte do exercício.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor de
no topo do Monte Everest. Sabemos que
km =
m e
m. Substituindo na fórmula aproximada:
Passo 7
Calculando o termo dentro do parênteses:
Então,
Passo 8
Sabemos que
. Portanto,
Passo 9
Agora, vamos mostrar que a diferença de energia potencial gravitacional
para um corpo de massa
ao ser levado da superfície da Terra a uma altura
com
é:
Sabemos que a energia potencial gravitacional é dada por:
A diferença de energia ao subir de
para
é:
Passo 10
Fatorando
:
Como
, podemos aproximar
, então:
Passo 11
Lembrando que
, substituímos na expressão:
E assim, demonstramos que a diferença de energia potencial gravitacional é
.
Resposta
A aceleração da gravidade no topo do Monte Everest é aproximadamente
.
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