Uma corda de 1,5 m e de peso 1 , 2 5 N está amarrada ao teto pela sua extremidade superior, e a inferior sustenta um peso P. Quando a corda é puxada suavemente, as ondas que se deslocam para cima obedecem à equação:
Y(x, t)=(8,5 m m) Cos(172 m^-1 X-2730 s^-1 t)
Qual é o peso P?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma corda de 1,5 metros de comprimento que pesa 1,25 N e está presa no teto. Na ponta da corda tem um peso P que queremos descobrir. Quando a corda é puxada, ondas se formam e a equação que descreve essas ondas é:
Y(x, t)=(8,5 , mm) cos(172 , m^-1 x - 2730 , s^-1 t)
Vamos usar conceitos de ondas em cordas para achar o peso P.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da equação da onda:
Y(x, t) = A cos(kx - omega t)
Onde:
  • é a amplitude da onda.
  • é o número de onda.
  • é a frequência angular.

Passo 3

Sabemos que a velocidade da onda v = omegak pode ser calculada usando a relação entre v = 2730172 approx 15,86 , m/s e :
Vamos calcular isso:

Passo 4

Agora, para ondas em uma corda, a velocidade também está relacionada à tensión v = raizTmu na corda e à massa por unidade de comprimento :
Queremos encontrar , que é a for��a total na corda devido ao peso P e ao peso da própria corda.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a massa por unidade de comprimento mu = Peso da cordaComprimento = 1,25 , N1,5 , m approx 0,833 , N/m . Sabemos que o peso da corda é 1,25 N e o comprimento é 1,5 m:

Passo 6

Rearranjando a equação da velocidade da onda para encontrar a tensão v^2 = Tmu T = mu v^2 :
T = 0,833 times (15,86)^2 T approx 0,833 times 251, , N T approx 209, , N
Substituindo os valores:

Passo 7

A tensão T = P + 1,25 , N na corda é igual ao peso total que ela está sustentando, ou seja, o peso P mais o peso da própria corda:
209 , N = P + 1,25 , N P = 209 , N - 1,25 , N P approx 207,75 , N
Então:

Resposta

O peso é aproximadamente 208 N.

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