Um tubo horizontal de diâmetro d1=10 cm que transporta água tem uma constrição de diâmetro d2=4 cm. Se a pressão p1=10^5 Pa e p2 =8 times 10^4 Pa, qual é a vazão no tubo? (1,5)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está nos pedindo. Temos um tubo horizontal que transporta água, com uma parte mais larga (diâmetro de 10 cm) e uma constrição mais estreita (diâmetro de 4 cm). As pressões nas duas partes do tubo são dadas: Pa na parte larga e Pa na constrição. Nosso objetivo é descobrir qual é a vazão de água que está passando pelo tubo.
Para resolver isso, vamos precisar usar dois conceitos principais da hidrodinâmica:
  1. Equação da Continuidade: Essa equação nos ajuda a relacionar as velocidades do fluido em diferentes seções do tubo.
  2. Equação de Bernoulli: Essa equação relaciona as pressões e velocidades em diferentes pontos do fluxo de um fluido incompressível e sem atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Equação da Continuidade, que nos diz que o fluxo de água deve ser constante ao longo do tubo. Isso significa que a quantidade de água que passa pela parte larga do tubo deve ser igual à quantidade que passa pela constrição. Matematicamente, isso é representado por:
Q = A1 times v1 = A2 times v2
Onde:
  • v2 = A1A2 times v1 �� a vazão,
  • e são as áreas das seções transversalmente larga e estreita, respectivamente,
  • e são as velocidades da água nessas seções.
Como a água é incompressível, podemos relacionar as velocidades:

Passo 3

Agora, vamos usar a Equação de Bernoulli, que nos permite relacionar as pressões e velocidades nos dois pontos do tubo. Em um tubo horizontal, a altura p1 + 12 rho v1^2 = p2 + 12 rho v2^2 é a mesma em ambos os pontos, então a equação simplifica para:
p1 - p2 = 12 rho (v2^2 - v1^2)
Aqui, é a densidade da água. Podemos rearranjar essa equação para encontrar :

Passo 4

Substituindo p1 - p2 = 12 rho ( (A1A2 v1)^2 - v1^2 ) da Equação da Continuidade na Equação de Bernoulli, temos:
p1 - p2 = 12 rho v1^2 ( (A1A2)^2 - 1 )
Simplificando:
v1 = raiz 2 (p1 - p2) rho ( (A1A2)^2 - 1 )
Agora, podemos resolver para :

Passo 5

Precisamos calcular as áreas das seções do tubo. Como o tubo é circular, a área A = pi ( d2 )^2 é:
A1 = pi ( 10,cm2 )^2 = pi times 25,cm^2
Calculando A2 = pi ( 4,cm2 )^2 = pi times 4,cm^2 e :

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação para A1 = 25,cm^2 = 0,0025,m^2 . Sabemos que a densidade da água A2 = 4,cm^2 = 0,0004,m^2 é aproximadamente v1 = raiz 2 (10^5 - 8 times 10^4) 1000 ( (0,00250,0004)^2 - 1 ) . Convertendo as áreas para metros quadrados:
Substituindo na equação:

Passo 7

Calculando os valores:
p1 - p2 = 10^5 - 8 times 10^4 = 2 times 10^4,Pa
A1A2 = 0,00250,0004 = 6,25
(A1A2)^2 - 1 = 6,25^2 - 1 = 39,0625 - 1 = 38,0625
Então:
v1 = raiz 2 times 2 times 10^4 1000 times 38,0625 = raiz 4 times 10^4 38062,5 approx raiz1,051 approx 1,025,m/s

Resposta

A vazão no tubo é aproximadamente .

Exercícios relacionados