Uma barra linear de um metro de comprimento é mantida a 0 graus em um extremo e a 128 graus no outro. Desejamos determinar a temperatura da barra a cada 20 cm . Denominando de T0 a temperatura de um extremo, de T5 a temperatura no outro extremo e de T1, T2, T3 e T4 a temperatura nos pontos interiores e sabendo que a temperatura em cada ponto interior é igual à média aritmética da temperatura de seus dois pontos vizinhos:
escreva um sistema linear para a determinação de T1, T2, T3 e T4.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de metal de um metro de comprimento dividida em segmentos de 20 cm. Nas extremidades dessa barra, as temperaturas são fixas: um extremo está a 0°C (T₀) e o outro a 128°C (T₅). Queremos descobrir as temperaturas nos pontos intermediários (T₁, T₂, T₃ e T₄).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática aplicada, especificamente sistemas lineares. Precisamos montar um sistema de equações que relacione as temperaturas nos pontos intermediários com as temperaturas das extremidades.
Passo 2
A condição dada é que a temperatura em cada ponto interno é igual à média aritmética das temperaturas de seus dois pontos vizinhos. Isso significa:
A temperatura em T₁ é a média de T₀ e T₂.
A temperatura em T₂ é a média de T₁ e T₃.
A temperatura em T₃ é a média de T₂ e T₄.
A temperatura em T₄ é a média de T₃ e T₅.
Matematicamente, podemos escrever isso da seguinte forma:
Passo 3
Sabemos que as temperaturas nas extremidades são T₀ = 0°C e T₅ = 128°C. Podemos substituir esses valores nas equações:
Agora, temos duas equações simplificadas e duas outras que ainda envolvem T₂ e T₃.
Passo 4
Vamos reorganizar as equações para deixá-las todas com os termos desconhecidos de um lado:
Para T₁:
Para T₂:
Para T₃:
Para T₄:
Passo 5
Para facilitar, vamos multiplicar todas as equações por 2 para eliminar os denominadores:
Passo 6
Agora, temos um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas (T₁, T₂, T₃ e T₄). O sistema fica assim:
Resposta
O sistema linear para determinar T₁, T��, T₃ e T₄ é: