Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Gauss Seidel, com o epsilon<10^-2 ou no máximo 8 iterações. Considere x^(0)= [ll0,2 & 0,2]^T
l 2 x-y=0 x+2 y=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema linear usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos dá o sistema:
l 2x - y = 0 x + 2y = 5
E nos pede para encontrar o vetor solução começando com 0,2 0,2 (ou seja, e ). Vamos precisar entender o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para solucionar sistemas lineares. Basicamente, a gente vai atualizar os valores de e passo a passo até chegar numa solução com a precisão desejada ( ) ou até completar 8 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para expressar 2x = y Rightarrow x = y2 e 2y = 5 - x Rightarrow y = 5 - x2 em termos um do outro, já que no método de Gauss-Seidel a gente atualiza uma variável de cada vez usando os valores mais recentes disponíveis.
Da primeira equação x^(k+1) = y^(k)2 , isolamos y^(k+1) = 5 - x^(k+1)2 :
Da segunda equação , isolamos :
Então, nossas fórmulas de iteração são:

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações usando o vetor inicial x^(1) = y^(0)2 = 0,22 = 0,1 e y^(1) = 5 - x^(1)2 = 5 - 0,12 = 4,92 = 2,45 . Vamos calcular |x^(1) - x^(0)| = |0,1 - 0,2| = 0,1 >= 0,01 e |y^(1) - y^(0)| = |2,45 - 0,2| = 2,25 >= 0,01 :
Iteração 1:
Vamos verificar a diferença para ver se já alcançamos a precisão desejada ( ):
Como ainda não atingimos a precisão, seguimos para a próxima iteração.

Passo 4

Iteração 2:
x^(2) = y^(1)2 = 2,452 = 1,225
y^(2) = 5 - x^(2)2 = 5 - 1,2252 = 3,7752 = 1,8875
Verificando as diferenças:
|x^(2) - x^(1)| = |1,225 - 0,1| = 1,125 >= 0,01
|y^(2) - y^(1)| = |1,8875 - 2,45| = 0,5625 >= 0,01
Ainda não alcançamos a precisão necessária. Vamos continuar.

Passo 5

Iteração 3:
x^(3) = y^(2)2 = 1,88752 = 0,94375
y^(3) = 5 - x^(3)2 = 5 - 0,943752 = 4,056252 = 2,028125
Diferenças:
|x^(3) - x^(2)| = |0,94375 - 1,225| = 0,28125 >= 0,01
|y^(3) - y^(2)| = |2,028125 - 1,8875| = 0,140625 >= 0,01
Ainda não está dentro da precisão desejada.

Passo 6

Iteração 4:
x^(4) = y^(3)2 = 2,0281252 = 1,0140625
y^(4) = 5 - x^(4)2 = 5 - 1,01406252 = 3,98593752 = 1,99296875
Diferenças:
|x^(4) - x^(3)| = |1,0140625 - 0,94375| = 0,0703125 >= 0,01
|y^(4) - y^(3)| = |1,99296875 - 2,028125| = 0,03515625 >= 0,01
Ainda precisamos continuar.

Passo 7

Iteração 5:
x^(5) = y^(4)2 = 1,992968752 = 0,996484375
y^(5) = 5 - x^(5)2 = 5 - 0,9964843752 = 4,0035156252 = 2,0017578125
Diferenças:
|x^(5) - x^(4)| = |0,996484375 - 1,0140625| = 0,017578125 >= 0,01
|y^(5) - y^(4)| = |2,0017578125 - 1,99296875| = 0,0087890625 < 0,01
Aqui, a diferença de já está abaixo de , mas ainda está acima. Vamos para a próxima iteração.

Passo 8

Iteração 6:
x^(6) = y^(5)2 = 2,00175781252 = 1,00087890625
y^(6) = 5 - x^(6)2 = 5 - 1,000878906252 = 3,999121093752 = 1,999560546875
Diferenças:
|x^(6) - x^(5)| = |1,00087890625 - 0,996484375| = 0,00439453125 < 0,01
|y^(6) - y^(5)| = |1,999560546875 - 2,0017578125| = 0,002197265625 < 0,01
Agora, ambas as diferenças estão abaixo de . Portanto, atingimos a precisão desejada e podemos encerrar as iterações.

Resposta

O vetor solução aproximado do sistema linear pelo método de Gauss-Seidel é:
1,00087890625 1,999560546875

Exercícios relacionados