Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Gauss Seidel, com o ou no máximo 8 iterações. Considere
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema linear usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos dá o sistema:
E nos pede para encontrar o vetor solução começando com (ou seja, e ). Vamos precisar entender o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para solucionar sistemas lineares. Basicamente, a gente vai atualizar os valores de e passo a passo até chegar numa solução com a precisão desejada () ou até completar 8 iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para expressar e em termos um do outro, já que no método de Gauss-Seidel a gente atualiza uma variável de cada vez usando os valores mais recentes disponíveis.
Da primeira equação , isolamos :
Da segunda equação , isolamos :
Então, nossas fórmulas de iteração são:
Passo 3
Agora, vamos iniciar as iterações usando o vetor inicial e . Vamos calcular e :
Iteração 1:
Vamos verificar a diferença para ver se já alcançamos a precisão desejada ():
Como ainda não atingimos a precisão, seguimos para a próxima iteração.
Passo 4
Iteração 2:
Verificando as diferenças:
Ainda não alcançamos a precisão necessária. Vamos continuar.
Passo 5
Iteração 3:
Diferenças:
Ainda não está dentro da precisão desejada.
Passo 6
Iteração 4:
Diferenças:
Ainda precisamos continuar.
Passo 7
Iteração 5:
Diferenças:
Aqui, a diferença de já está abaixo de , mas ainda está acima. Vamos para a próxima iteração.
Passo 8
Iteração 6:
Diferenças:
Agora, ambas as diferenças estão abaixo de . Portanto, atingimos a precisão desejada e podemos encerrar as iterações.
Resposta
O vetor solução aproximado do sistema linear pelo método de Gauss-Seidel é: