Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Gauss Seidel, com o ou no máximo 8 iterações. Considere

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema linear usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos dá o sistema:
E nos pede para encontrar o vetor solução começando com (ou seja, e ). Vamos precisar entender o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para solucionar sistemas lineares. Basicamente, a gente vai atualizar os valores de e passo a passo até chegar numa solução com a precisão desejada ( ) ou até completar 8 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para expressar e em termos um do outro, já que no método de Gauss-Seidel a gente atualiza uma variável de cada vez usando os valores mais recentes disponíveis.
Da primeira equação , isolamos :
Da segunda equação , isolamos :
Então, nossas fórmulas de iteração são:

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações usando o vetor inicial e . Vamos calcular e :
Iteração 1:
Vamos verificar a diferença para ver se já alcançamos a precisão desejada ( ):
Como ainda não atingimos a precisão, seguimos para a próxima iteração.

Passo 4

Iteração 2:
Verificando as diferenças:
Ainda não alcançamos a precisão necessária. Vamos continuar.

Passo 5

Iteração 3:
Diferenças:
Ainda não está dentro da precisão desejada.

Passo 6

Iteração 4:
Diferenças:
Ainda precisamos continuar.

Passo 7

Iteração 5:
Diferenças:
Aqui, a diferença de já está abaixo de , mas ainda está acima. Vamos para a próxima iteração.

Passo 8

Iteração 6:
Diferenças:
Agora, ambas as diferenças estão abaixo de . Portanto, atingimos a precisão desejada e podemos encerrar as iterações.

Resposta

O vetor solução aproximado do sistema linear pelo método de Gauss-Seidel é:

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Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Jacobi, com ou no máximo 8 iterações. Considere
Ache a raiz da função com uma tolerância de . Apresente o resultado final com seis casas decimais (Sugestão: Construa uma tabela para identificar o intervalo onde a raiz se encontra. Em seguida aplique o método de Newton-Raphson).
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Jacobi, com o ou no máximo 4 iterações. (Caso seja necessário, use o critério de convergência para rearranjar as equações).
e
Uma barra linear de um metro de comprimento é mantida a 0 graus em um extremo e a 128 graus no outro. Desejamos determinar a temperatura da barra a cada 20 cm . Denominando de T0 a temperatura de um extremo, de T5 a temperatura no outro extremo e de T1, T2, T3 e T4 a temperatura nos pontos interiores e sabendo que a temperatura em cada ponto interior é igual à média aritmética da temperatura de seus dois pontos vizinhos:
escreva um sistema linear para a determinação de T1, T2, T3 e T4.