Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Jacobi, com o ou no máximo 4 iterações. (Caso seja necessário, use o critério de convergência para rearranjar as equações). e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Jacobi. Esse método faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente para resolver sistemas iterativamente. A ideia é começar com uma estimativa inicial (no caso, todos os zeros) e ir melhorando essa estimativa passo a passo até chegar perto da solução, com uma precisão menor que ou até 4 iterações, se necessário. Vamos precisar rearranjar as equações para facilitar as iterações do método de Jacobi.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar cada equação para isolar cada variável. Isso facilita a aplicação do método de Jacobi, onde cada variável é atualizada com base nos valores das outras variáveis da iteração anterior.
As equações originais são:
Vamos isolar cada variável:
Para :
Para :
Para :
Para :
Agora temos as equações prontas para a aplicação do método de Jacobi.
Passo 3
Vamos iniciar a primeira iteração com a estimativa inicial .
Aplicando as equações rearranjadas:
Então, após a primeira iteração, temos:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda iteração, usando como a estimativa anterior.
Então, após a segunda iteração:
Passo 5
Vamos para a terceira iteração, usando como base.
Após a terceira iteração:
Passo 6
Agora, vamos para a quarta iteração, utilizando .
Após a quarta iteração:
Passo 7
Agora, precisamos verificar se as diferenças entre as iterações são menores que . Vamos comparar com :
Como nem todas as diferenças são menores que , precisamos de mais uma iteração, mas conforme o enunciado, vamos parar no máximo em 4 iterações.
Resposta
Após 4 iterações pelo método de Jacobi, o vetor solução aproximado do sistema é: