Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Jacobi, com o epsilon<10^-2 ou no máximo 4 iterações. (Caso seja necessário, use o critério de convergência para rearranjar as equações).
x^(0)=[llll0 & 0 & 0 & 0]^T e epsilon<10^-2
c x1-0.20 x2-0.20 x3=0 -0.20 x1+x2-0.20 x4=0 -0.20 x1+x3-0.20 x4=0.25 -0.20 x2+x4=0.25

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Jacobi. Esse método faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente para resolver sistemas iterativamente. A ideia é começar com uma estimativa inicial (no caso, todos os zeros) e ir melhorando essa estimativa passo a passo até chegar perto da solução, com uma precisão menor que ou até 4 iterações, se necessário. Vamos precisar rearranjar as equações para facilitar as iterações do método de Jacobi.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar cada equação para isolar cada variável. Isso facilita a aplicação do método de Jacobi, onde cada variável é atualizada com base nos valores das outras variáveis da iteração anterior.
As equações originais são:
x1 - 0,20x2 - 0,20x3 = 0 -0,20x1 + x2 - 0,20x4 = 0 -0,20x1 + x3 - 0,20x4 = 0,25 -0,20x2 + x4 = 0,25
Vamos isolar cada variável:
  1. Para x1 = 0,20x2 + 0,20x3 :
x2 = 0,20x1 + 0,20x4
  1. Para x3 = 0,20x1 + 0,20x4 + 0,251 :
x3 = 0,20x1 + 0,20x4 + 0,25
  1. Para x4 = 0,20x2 + 0,25 :
  1. Para :
Agora temos as equações prontas para a aplicação do método de Jacobi.

Passo 3

Vamos iniciar a primeira iteração com a estimativa inicial x1^(1) = 0,20 times 0 + 0,20 times 0 = 0 .
Aplicando as equações rearranjadas:
x2^(1) = 0,20 times 0 + 0,20 times 0 = 0
x3^(1) = 0,20 times 0 + 0,20 times 0 + 0,25 = 0,25
x4^(1) = 0,20 times 0 + 0,25 = 0,25
x^(1) = 0 0 0,25 0,25
Então, após a primeira iteração, temos:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda iteração, usando x1^(2) = 0,20 times 0 + 0,20 times 0,25 = 0,05 como a estimativa anterior.
x2^(2) = 0,20 times 0 + 0,20 times 0,25 = 0,05
x3^(2) = 0,20 times 0 + 0,20 times 0,25 + 0,25 = 0,20
x4^(2) = 0,20 times 0 + 0,25 = 0,25
x^(2) = 0,05 0,05 0,20 0,25
Então, após a segunda iteração:

Passo 5

Vamos para a terceira iteração, usando x1^(3) = 0,20 times 0,05 + 0,20 times 0,20 = 0,01 + 0,04 = 0,05 como base.
x2^(3) = 0,20 times 0,05 + 0,20 times 0,25 = 0,01 + 0,05 = 0,06
x3^(3) = 0,20 times 0,05 + 0,20 times 0,25 + 0,25 = 0,01 + 0,05 + 0,25 = 0,31
x4^(3) = 0,20 times 0,05 + 0,25 = 0,01 + 0,25 = 0,26
x^(3) = 0,05 0,06 0,31 0,26
Após a terceira iteração:

Passo 6

Agora, vamos para a quarta iteração, utilizando x1^(4) = 0,20 times 0,06 + 0,20 times 0,31 = 0,012 + 0,062 = 0,074 .
x2^(4) = 0,20 times 0,05 + 0,20 times 0,26 = 0,01 + 0,052 = 0,062
x3^(4) = 0,20 times 0,05 + 0,20 times 0,26 + 0,25 = 0,01 + 0,052 + 0,25 = 0,312
x4^(4) = 0,20 times 0,06 + 0,25 = 0,012 + 0,25 = 0,262
x^(4) = 0,074 0,062 0,312 0,262
Após a quarta iteração:

Passo 7

Agora, precisamos verificar se as diferenças entre as iterações são menores que |0,074 - 0,05| = 0,024 >= 0,01 . Vamos comparar |0,062 - 0,06| = 0,002 < 0,01 com |0,312 - 0,31| = 0,002 < 0,01 :
|0,262 - 0,26| = 0,002 < 0,01
Como nem todas as diferenças são menores que , precisamos de mais uma iteração, mas conforme o enunciado, vamos parar no máximo em 4 iterações.

Resposta

Após 4 iterações pelo método de Jacobi, o vetor solução aproximado do sistema é:
x = 0,074 0,062 0,312 0,262

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