Uma barra de massa e comprimento está presa em sua extremidade ao teto por um eixo que the permite oscilar livremente. Calcule , o torque restaurador por unidade de deslocamento angular para pequenos deslocamentos, e mostre que a frequência de pequenas oscilações é . Quanto é para o caso da barra oscilar em torno de um pondo cuja distância acima do centro de massa é M?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações de uma barra pendurada. A gente vai trabalhar com conceitos de torque restaurador e frequência de oscilações. Precisamos calcular o torque restaurador por unidade de deslocamento angular ( ) para pequenos deslocamentos e mostrar que a frequência das oscilações é . Além disso, vamos encontrar quando a barra oscila em torno de um ponto a uma distância acima do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é torque restaurador. Quando uma barra oscila, a força da gravidade tenta trazê-la de volta à posição de equilíbrio. O torque é uma medida dessa força que causa a rotação. Para pequenos ângulos de deslocamento, podemos linearizar o problema usando aproximações simples.

Passo 3

Vamos determinar o torque restaurador ( ) por unidade de deslocamento angular. O torque devido à gravidade é dado por:
Para pequenos ângulos, , então:
Aqui, é a distância do ponto de rotação até o centro de massa da barra.

Passo 4

No caso da barra de comprimento , o centro de massa está a do ponto de rotação. Então, . Substituindo na equação:
Portanto, o torque restaurador por unidade de deslocamento angular é:

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com a frequência das oscilações. A equação para o movimento harmônico simples é:
Onde é o momento de inércia da barra em relação ao ponto de rotação. Para uma barra de comprimento e massa , o momento de inércia é:

Passo 6

Substituindo na equação do movimento:
Podemos simplificar os termos:
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples, onde a frequência angular é:

Passo 7

A frequência está relacionada com a frequência angular pela relação:
Então, mostramos que a frequência das pequenas oscilações é:

Passo 8

Agora, vamos calcular a frequência quando a barra oscila em torno de um ponto a uma distância acima do centro de massa. Nesse caso, a nova distância do ponto de rotação ao centro de massa é . O torque restaurador passa a ser:
O momento de inércia agora é:

Passo 9

Substituindo na equação do movimento:
Simplificando:
A frequência angular agora é:

Passo 10

Finalmente, a frequência é:

Resposta

A frequência das pequenas oscilações quando a barra oscila em torno de um ponto a uma distância acima do centro de massa é:

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