Uma barra de massa M e comprimento L está presa em sua extremidade ao teto por um eixo que the permite oscilar livremente. Calcule tau, o torque restaurador por unidade de deslocamento angular para pequenos deslocamentos, e mostre que a frequência de pequenas oscilações é f=12 pi raiz3 g2 L. Quanto é f para o caso da barra oscilar em torno de um pondo cuja distância acima do centro de massa é M?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações de uma barra pendurada. A gente vai trabalhar com conceitos de torque restaurador e frequência de oscilações. Precisamos calcular o torque restaurador por unidade de deslocamento angular ( tau) para pequenos deslocamentos e mostrar que a frequência das oscilações é f = 12 pi raiz3 g2 L. Além disso, vamos encontrar f quando a barra oscila em torno de um ponto a uma distância M acima do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é torque restaurador. Quando uma barra oscila, a força da gravidade tenta trazê-la de volta à posição de equilíbrio. O torque é uma medida dessa força que causa a rotação. Para pequenos ângulos de deslocamento, podemos linearizar o problema usando aproximações simples.

Passo 3

Vamos determinar o torque restaurador ( tau) por unidade de deslocamento angular. O torque devido à gravidade é dado por:
tau = -m g d sin(theta)
Para pequenos ângulos, sin(theta) approx theta, então:
tau approx -m g d theta
Aqui, d é a distância do ponto de rotação até o centro de massa da barra.

Passo 4

No caso da barra de comprimento L, o centro de massa está a L/2 do ponto de rotação. Então, d = L/2. Substituindo na equação:
tau approx -m g (L2) theta = -m g L2 theta
Portanto, o torque restaurador por unidade de deslocamento angular é:
tau = -m g L2

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com a frequência das oscilações. A equação para o movimento harmônico simples é:
I ddottheta = tau
Onde I é o momento de inércia da barra em relação ao ponto de rotação. Para uma barra de comprimento L e massa m, o momento de inércia é:
I = 13 m L^2

Passo 6

Substituindo tau na equação do movimento:
13 m L^2 ddottheta = -m g L2 theta
Podemos simplificar os termos:
ddottheta + 3 g2 L theta = 0
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples, onde a frequência angular omega é:
omega = raiz3 g2 L

Passo 7

A frequência f está relacionada com a frequência angular omega pela relação:
f = omega2 pi = 12 pi raiz3 g2 L
Então, mostramos que a frequência das pequenas oscilações é:
f = 12 pi raiz3 g2 L

Passo 8

Agora, vamos calcular a frequência f quando a barra oscila em torno de um ponto a uma distância M acima do centro de massa. Nesse caso, a nova distância d do ponto de rotação ao centro de massa é d = M. O torque restaurador passa a ser:
tau = -m g M theta
O momento de inércia agora é:
I = m M^2

Passo 9

Substituindo na equação do movimento:
m M^2 ddottheta = -m g M theta
Simplificando:
ddottheta + gM theta = 0
A frequência angular omega agora é:
omega = raizgM

Passo 10

Finalmente, a frequência f é:
f = omega2 pi = 12 pi raizgM

Resposta

A frequência das pequenas oscilações quando a barra oscila em torno de um ponto a uma distância M acima do centro de massa é:
f = 12 pi raizgM

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