Uma barra de massa
e comprimento
está presa em sua extremidade ao teto por um eixo que the permite oscilar livremente. Calcule
, o torque restaurador por unidade de deslocamento angular para pequenos deslocamentos, e mostre que a frequência de pequenas oscilações é
. Quanto é
para o caso da barra oscilar em torno de um pondo cuja distância acima do centro de massa é M?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações de uma barra pendurada. A gente vai trabalhar com conceitos de torque restaurador e frequência de oscilações. Precisamos calcular o torque restaurador por unidade de deslocamento angular (
) para pequenos deslocamentos e mostrar que a frequência das oscilações é
. Além disso, vamos encontrar
quando a barra oscila em torno de um ponto a uma distância
acima do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é torque restaurador. Quando uma barra oscila, a força da gravidade tenta trazê-la de volta à posição de equilíbrio. O torque é uma medida dessa força que causa a rotação. Para pequenos ângulos de deslocamento, podemos linearizar o problema usando aproximações simples.
Passo 3
Vamos determinar o torque restaurador (
) por unidade de deslocamento angular. O torque devido à gravidade é dado por:
Para pequenos ângulos,
, então:
Aqui,
é a distância do ponto de rotação até o centro de massa da barra.
Passo 4
No caso da barra de comprimento
, o centro de massa está a
do ponto de rotação. Então,
. Substituindo na equação:
Portanto, o torque restaurador por unidade de deslocamento angular é:
Passo 5
Agora, vamos relacionar isso com a frequência das oscilações. A equação para o movimento harmônico simples é:
Onde
é o momento de inércia da barra em relação ao ponto de rotação. Para uma barra de comprimento
e massa
, o momento de inércia é:
Passo 6
Substituindo
na equação do movimento:
Podemos simplificar os termos:
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples, onde a frequência angular
é:
Passo 7
A frequência
está relacionada com a frequência angular
pela relação:
Então, mostramos que a frequência das pequenas oscilações é:
Passo 8
Agora, vamos calcular a frequência
quando a barra oscila em torno de um ponto a uma distância
acima do centro de massa. Nesse caso, a nova distância
do ponto de rotação ao centro de massa é
. O torque restaurador passa a ser:
O momento de inércia agora é:
Passo 9
Substituindo na equação do movimento:
Simplificando:
A frequência angular
agora é:
Passo 10
Finalmente, a frequência
é:
Resposta
A frequência das pequenas oscilações quando a barra oscila em torno de um ponto a uma distância
acima do centro de massa é: