Duas massa idênticas são conectadas à molas de constantes elásticas K e 16k, deslocadas da mesma quantidade e então soltas. (a) se o menor período é 1s, quando elas retornarão pela primeira vez à suas posições de origem no mesmo tempo? (b) Quantas oscilações elas terão completado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas massas idênticas conectadas a molas com constantes elásticas diferentes, e . Elas são deslocadas pela mesma quantidade e soltas. Nosso objetivo é descobrir, na letra (a), quando elas vão retornar pela primeira vez às posições de origem ao mesmo tempo, sabendo que o período menor é de 1 segundo. Na letra (b), queremos saber quantas oscilações cada uma terá completado até esse momento. Vamos precisar entender um pouco sobre o período de oscilações de massas em molas e como comparar os períodos para encontrar o momento em que se alinham novamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do período T = 2pi raizmk de uma massa presa a uma mola com constante elástica :
Como as massas são idênticas, podemos chamar ambas de . Agora, vamos calcular os períodos das duas massas.

Passo 3

Para a primeira mola com constante T1 = 2pi raizmK :
T2 = 2pi raizm16K = 2pi raizmK times 16 = 2pi raizmK times 14 = T14
Para a segunda mola com constante :
Isso mostra que o período da segunda mola é um quarto do período da primeira mola.

Passo 4

Sabemos que o menor período é de 1 segundo. Observando as expressões acima, T2 = 1 s Rightarrow T14 = 1 s Rightarrow T1 = 4 s . Como é menor, atribuímos:
Então, o período da primeira mola é de 4 segundos.

Passo 5

Agora, queremos saber quando as duas massas retornarão às suas posições de origem ao mesmo tempo. Isso acontece no menor múltiplo comum (MMC) dos períodos MMC(4 s, 1 s) = 4 s e :
Portanto, as duas massas voltarão à posição de origem juntas pela primeira vez após 4 segundos.

Passo 6

Para a letra (b), queremos saber quantas oscilações cada massa completou nesse tempo de 4 segundos.
Para a primeira massa com período Oscilações = Tempo totalT1 = 4 s4 s = 1 oscilação :
Oscilações = Tempo totalT2 = 4 s1 s = 4 oscilações çõçã
Para a segunda massa com período :
çõçõ

Resposta

(a) As massas retornarão pela primeira vez às posições de origem ao mesmo tempo após 4 segundos.
(b) A primeira massa completará 1 oscilação e a segunda massa completará 4 oscilações nesse período.

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