(i) Mostre que um oscilador harmônico com força externa possui sua amplitude máxima na frequência
. Dica: Extremize
ao invés de
, explique a razão disso. (b) Em qual frequência a velocidade possui seu maior valor?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador harmônico que está sob a influência de uma força externa. Basicamente, a gente vai precisar usar conceitos de física de oscilladores forçados e entender como a amplitude da oscilação depende da frequência da força aplicada. Para resolver, vamos precisar maximizar o módulo de
ao quadrado, ou seja,
. Isso porque trabalhar com o quadrado facilita os cálculos de maximização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um oscilador harmônico com amortecimento, a impedância
é dada por:
onde:
-
é a frequência da força externa, -
é a frequência natural do oscilador, -
é o coeficiente de amortecimento.
Passo 3
Para encontrar a frequência que maximiza a amplitude, precisamos maximizar
. Porém, maximizar
é mais fácil porque elimina a raiz quadrada. Então, vamos definir:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero para encontrar o ponto de máximo:
Diferenciando:
Passo 5
Simplificando a equação:
Podemos dividir ambos os lados por
(considerando que
):
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Passo 8
Agora, para a parte (b), queremos descobrir em qual frequência a velocidade do oscilador atinge seu maior valor.
Passo 9
A velocidade máxima está relacionada à derivada da posição em relação ao tempo. No contexto da amplitude, isso ocorre quando a amplitude multiplicada pela frequência é máxima. Então, vamos maximizar
.
Passo 10
Para maximizar
:
Passo 11
Derivando
em relação a
e igualando a zero:
Isso envolve uma derivação mais complexa, mas após simplificar, encontraremos que a frequência que maximiza a velocidade é diferente da que maximiza a amplitude.
Passo 12
Após os cálculos, a frequência que maximiza a velocidade é
.
Resposta
A velocidade atinge seu maior valor na frequência
.
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