(i) Mostre que um oscilador harmônico com força externa possui sua amplitude máxima na frequência . Dica: Extremize ao invés de , explique a razão disso. (b) Em qual frequência a velocidade possui seu maior valor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador harmônico que está sob a influência de uma força externa. Basicamente, a gente vai precisar usar conceitos de física de oscilladores forçados e entender como a amplitude da oscilação depende da frequência da força aplicada. Para resolver, vamos precisar maximizar o módulo de ao quadrado, ou seja, . Isso porque trabalhar com o quadrado facilita os cálculos de maximização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um oscilador harmônico com amortecimento, a impedância é dada por:
onde:
  • é a frequência da força externa,
  • é a frequência natural do oscilador,
  • é o coeficiente de amortecimento.

Passo 3

Para encontrar a frequência que maximiza a amplitude, precisamos maximizar . Porém, maximizar é mais fácil porque elimina a raiz quadrada. Então, vamos definir:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a zero para encontrar o ponto de máximo:
Diferenciando:

Passo 5

Simplificando a equação:
Podemos dividir ambos os lados por (considerando que ):

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Passo 8

Agora, para a parte (b), queremos descobrir em qual frequência a velocidade do oscilador atinge seu maior valor.

Passo 9

A velocidade máxima está relacionada à derivada da posição em relação ao tempo. No contexto da amplitude, isso ocorre quando a amplitude multiplicada pela frequência é máxima. Então, vamos maximizar .

Passo 10

Para maximizar :

Passo 11

Derivando em relação a e igualando a zero:
Isso envolve uma derivação mais complexa, mas após simplificar, encontraremos que a frequência que maximiza a velocidade é diferente da que maximiza a amplitude.

Passo 12

Após os cálculos, a frequência que maximiza a velocidade é .

Resposta

A velocidade atinge seu maior valor na frequência .

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