Mostre que a solução para oscilações amortecidas criticas
,
nunca será negativa se o sistema começar do repouso com algum valor positivo para
.
nunca será negativa se o sistema começar do repouso com algum valor positivo para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema sobre oscilações amortecidas críticas, que fazem parte da física, mais especificamente de sistemas dinâmicos. A gente precisa mostrar que a função solução
nunca fica negativa se o sistema começar parado com um valor positivo para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta ao longo do tempo e usar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o que acontece quando
. Substituindo na função:
Isso nos mostra que
. Como
é positivo, sabemos que
também é positivo.
Passo 3
Agora, vamos descobrir o que acontece com a derivada de
no instante inicial, ou seja, quando
. A derivada de
em relação ao tempo é:
Usando a regra do produto:
No instante inicial (
):
Mas sabemos que o sistema começa do repouso, ou seja,
. Então:
Passo 4
Vamos substituir o valor de
na função original:
Como
é positivo e
é sempre positivo para qualquer valor de
, a positividade de
depende de
.
Passo 5
Observamos que
é sempre maior que zero porque
e
é uma constante positiva (já que representa o coeficiente de amortecimento). Portanto, todo o produto:
é positivo para todo
.
Resposta
Assim, demonstramos que
nunca será negativo se o sistema começar do repouso com um valor positivo para
.