Mostre que a solução para oscilações amortecidas criticas
x(t)=e^-gamma t2[A+B t],
nunca será negativa se o sistema começar do repouso com algum valor positivo para x(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema sobre oscilações amortecidas críticas, que fazem parte da física, mais especificamente de sistemas dinâmicos. A gente precisa mostrar que a função solução nunca fica negativa se o sistema começar parado com um valor positivo para . Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta ao longo do tempo e usar as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que acontece quando x(0) = e^-gamma cdot 02(A + B cdot 0) = e^0(A) = A . Substituindo na função:
Isso nos mostra que . Como é positivo, sabemos que também é positivo.

Passo 3

Agora, vamos descobrir o que acontece com a derivada de x'(t) = ddt(e^-gamma t2(A + Bt)) no instante inicial, ou seja, quando x'(t) = e^-gamma t2(-gamma2(A + Bt) + B) . A derivada de x'(0) = e^0(-gamma2A + B) = -gamma2A + B em relação ao tempo é:
-gamma2A + B = 0
Usando a regra do produto:
B = gamma2A
No instante inicial ( ):
Mas sabemos que o sistema começa do repouso, ou seja, . Então:

Passo 4

Vamos substituir o valor de x(t) = e^-gamma t2(A + gamma2A t) na função original:
x(t) = A e^-gamma t2(1 + gamma t2)
Como é positivo e é sempre positivo para qualquer valor de , a positividade de depende de .

Passo 5

Observamos que A e^-gamma t2(1 + gamma t2) é sempre maior que zero porque e é uma constante positiva (já que representa o coeficiente de amortecimento). Portanto, todo o produto:
é positivo para todo .

Resposta

Assim, demonstramos que nunca será negativo se o sistema começar do repouso com um valor positivo para .

Exercícios relacionados