Mostre que a solução para oscilações amortecidas criticas
,
nunca será negativa se o sistema começar do repouso com algum valor positivo para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema sobre oscilações amortecidas críticas, que fazem parte da física, mais especificamente de sistemas dinâmicos. A gente precisa mostrar que a função solução nunca fica negativa se o sistema começar parado com um valor positivo para . Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta ao longo do tempo e usar as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que acontece quando . Substituindo na função:
Isso nos mostra que . Como é positivo, sabemos que também é positivo.

Passo 3

Agora, vamos descobrir o que acontece com a derivada de no instante inicial, ou seja, quando . A derivada de em relação ao tempo é:
Usando a regra do produto:
No instante inicial ( ):
Mas sabemos que o sistema começa do repouso, ou seja, . Então:

Passo 4

Vamos substituir o valor de na função original:
Como é positivo e é sempre positivo para qualquer valor de , a positividade de depende de .

Passo 5

Observamos que é sempre maior que zero porque e é uma constante positiva (já que representa o coeficiente de amortecimento). Portanto, todo o produto:
é positivo para todo .

Resposta

Assim, demonstramos que nunca será negativo se o sistema começar do repouso com um valor positivo para .

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