Mostre que a solução para oscilações amortecidas criticas
,
nunca será negativa se o sistema começar do repouso com algum valor positivo para
.
nunca será negativa se o sistema começar do repouso com algum valor positivo para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema sobre oscilações amortecidas críticas, que fazem parte da física, mais especificamente de sistemas dinâmicos. A gente precisa mostrar que a função solução
nunca fica negativa se o sistema começar parado com um valor positivo para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa função se comporta ao longo do tempo e usar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o que acontece quando
. Substituindo na função:
Isso nos mostra que
. Como
é positivo, sabemos que
também é positivo.
Passo 3
Agora, vamos descobrir o que acontece com a derivada de
no instante inicial, ou seja, quando
. A derivada de
em relação ao tempo é:
Usando a regra do produto:
No instante inicial (
):
Mas sabemos que o sistema começa do repouso, ou seja,
. Então:
Passo 4
Vamos substituir o valor de
na função original:
Como
é positivo e
é sempre positivo para qualquer valor de
, a positividade de
depende de
.
Passo 5
Observamos que
é sempre maior que zero porque
e
é uma constante positiva (já que representa o coeficiente de amortecimento). Portanto, todo o produto:
é positivo para todo
.
Resposta
Assim, demonstramos que
nunca será negativo se o sistema começar do repouso com um valor positivo para
.
Exercícios relacionados
Um disco fino de massa
e raio
é equilibrado em uma mesa através de um ponto de apoio em seu aro. Uma pequena massa m é colada na circunferência logo acima do ponto de contato com a mesa. Quando o disco recebe um pequeno deslocamento angular e liberado, ele oscila para frente e para trás no plano vertical sem escorregar. Mostre que o período das oscilações é
. Aqui ignoramos o momento de inércia de m. Por que isso?
Uma haste de metal de massa
e comprimento
é suspensa no ponto central por uma cabo e executa oscilações torcionais. Quando duas massas m são presas aos extremos da haste a frequência angular diminui em 10%. Quanto é
?
Uma barra de massa
e comprimento
está presa em sua extremidade ao teto por um eixo que the permite oscilar livremente. Calcule
, o torque restaurador por unidade de deslocamento angular para pequenos deslocamentos, e mostre que a frequência de pequenas oscilações é
. Quanto é
para o caso da barra oscilar em torno de um pondo cuja distância acima do centro de massa é M?
(i) Mostre que um oscilador harmônico com força externa possui sua amplitude máxima na frequência
. Dica: Extremize
ao invés de
, explique a razão disso. (b) Em qual frequência a velocidade possui seu maior valor?