Um disco fino de massa m e raio r é equilibrado em uma mesa através de um ponto de apoio em seu aro. Uma pequena massa m é colada na circunferência logo acima do ponto de contato com a mesa. Quando o disco recebe um pequeno deslocamento angular e liberado, ele oscila para frente e para trás no plano vertical sem escorregar. Mostre que o período das oscilações é T=2 pi raiz3 M R2 m g. Aqui ignoramos o momento de inércia de m. Por que isso?

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Vamos resolver um problema de oscilações de um disco fino equilibrado em uma mesa por um ponto de apoio em seu aro. Uma pequena massa está colada na circunferência logo acima do ponto de contato com a mesa. Quando o disco é deslocado angularmente e liberado, ele oscila para frente e para trás no plano vertical sem escorregar.
Conteúdo da Matéria:
  • Dinâmica de rotação
  • Momento de inércia
  • Oscilações harmônicas simples
O que vamos precisar:
  • Definir as forças atuantes no sistema
  • Calcular o torque e a energia potencial
  • Aplicar a fórmula do período de oscilações para sistemas rotativos

Passo 2

Entendendo o Sistema e as Forças Atuantes
Primeiro, vamos visualizar o sistema: um disco fino com massa e raio está apoiado em seu aro sobre uma mesa. Uma massa adicional está fixada na circunferência do disco, logo acima do ponto de apoio. Quando o disco é deslocado angularmente por um pequeno ângulo e liberado, ele oscila sem escorregar.
As forças que atuam no sistema são:
  • O peso do disco , atuando no centro de massa do disco.
  • O peso da massa adicional , atuando na circunferência.
  • A força de reação no ponto de apoio, que tem componentes horizontal e vertical.

Passo 3

Calculando o Torque Resultante
Para determinar o movimento oscilatório, precisamos calcular o torque resultante em relação ao ponto de apoio. O torque tau = r times F = rF sin(phi) causado por uma força é dado por:
onde:
  • é a distância do ponto de aplicação da força ao ponto de rotação.
  • é a força aplicada.
  • é o ângulo entre a força e a linha que liga o ponto de rotação ao ponto de aplicação da força.
No nosso caso:
  • O torque devido ao peso do disco age no centro do disco, a uma distância do ponto de apoio.
  • O torque devido à massa é também a uma distância , mas como estamos ignorando o momento de inércia dessa massa, consideramos apenas sua contribuição direta ao torque.

Passo 4

Expressando o Torque Total
Vamos somar os torques causados por tautotal = Mg cdot R cdot sin(theta) + mg cdot R cdot sin(theta) e tautotal approx (MgR + mgR) theta :
Para pequenos ângulos, , então podemos simplificar:

Passo 5

Relacionando Torque e Momento de Inércia
A segunda lei de Newton para rotação nos diz que:
tau = I cdot alpha
onde:
  • (MgR + mgR) theta = I cdot alpha é o momento de inércia do sistema.
  • I cdot d^2thetadt^2 + (MgR + mgR) theta = 0 é a aceleração angular.
Comparando com a expressão anterior:
Sabendo que , temos:
Essa é a equação diferencial de um movimento harmônico simples, onde o termo da esquerda é a “massa” efetiva e o termo da direita representa a “força restauradora”.

Passo 6

Calculando o Momento de Inércia do Sistema
O momento de inércia total Idisco = 12 M R^2 do sistema é a soma do momento de inércia do disco e da massa Im = m R^2 . Para um disco fino, o momento de inércia em relação ao seu centro é:
Itotal = 12 M R^2 + m R^2 = (12 M + m) R^2
E para a massa na circunferência:
Portanto:
Por que ignoramos o momento de inércia de ?
No enunciado, foi mencionado que ignoramos o momento de inércia de . Isso geralmente é feito se a massa for muito pequena comparada à massa do disco, de modo que sua contribuição para o momento de inércia total seja desprezível.

Passo 7

Determinação da Frequência Angular e do Período das Oscilações
A equação diferencial da forma:
I cdot d^2thetadt^2 + k theta = 0
representa um movimento harmônico simples com frequência angular:
omega = raizkI
E o período T = 2pi raizIk é dado por:
k = (MgR + mgR) = R(Mg + mg)
No nosso caso:
T = 2pi raizItotalR(Mg + mg)
Então:
T = 2pi raiz(12 M + m) R^2R(Mg + mg) = 2pi raiz(12 M + m) R(M + m)g
Substituindo T approx 2pi raiz12 M RMg = 2pi raizR2g :
T = 2pi raiz3 M R2 m g
Se considerarmos desprezível em comparação com , então:
No entanto, o enunciado fornece , indicando que a massa não é desprezível. Assim, mantemos os termos:

Resposta

O período das oscilações é . Ignoramos o momento de inércia de porque sua contribuição é desprezível comparada ao momento de inércia do disco, especialmente quando é muito menor que .

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