Uma barra de metal de massa e comprimento pode girar em um plano horizontal em torno de um eixo vertical sem atrito que passa por seu centro. Um canal oco na barra permite que o ar comprimido (alimentado no eixo) saia de dois pequenos orifícios nas extremidades da barra, conforme mostrado. A barra acelera até a velocidade angular em um intervalo de tempo , partindo do repouso. Que força cada jato de ar que escapa exerce sobre a barra?
a. Na figura, desenhe vetores para mostrar as forças exercidas sobre a barra. Em seguida, rotule os braços de momento de cada força.
b. As forças no seu desenho exercem um torque sobre os eixos. Escreva uma expressão para cada torque e depois some-os para obter o torque resultante. Sua expressão deve ser em termos da força desconhecida F e de quantidades c. Qual é o momento de inércia desta barra em relação ao eixo?
d. De acordo com a segunda lei de Newton, o torque faz com que a barra sofra uma aceleração angular. Use os resultados das partes b e c para escrever uma expressão para a aceleração angular. Simplifique a expressão tanto quanto possível.
e. Agora você pode usar a cinemática rotacional para escrever uma expressão para a velocidade angular da barra após o tempo decorreu. Faça isso.
f. Finalmente, resolva sua equação na parte e para a força desconhecida. Este é agora um resultado que você poderia usar com medições experimentais para determinar o tamanho da força exercida pelo gás.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre uma barra de metal que gira em torno de um eixo vertical, sem atrito. A barra tem massa e comprimento . Um canal na barra permite que o ar comprimido escape por dois orifícios nas extremidades, o que faz com que a barra acelere até atingir uma velocidade angular em um intervalo de tempo . A pergunta principal é descobrir qual força cada jato de ar exerce sobre a barra. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de torque, momento de inércia e a segunda lei de Newton para a rotação. Vamos detalhar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar os vetores das forças que atuam na barra. As forças vêm dos jatos de ar que escapam dos orifícios nas extremidades. Como o ar está saindo, a força exercida por cada jato será na direção oposta ao movimento do ar, ou seja, perpendicular à barra. Vamos chamar essa força de para cada jato. Os braços de momento são as distâncias do eixo de rotação até onde as forças atuam. Como os orifícios estão nas extremidades, cada braço de momento será .

Passo 3

Agora, vamos calcular o torque (momento de força) causado por cada jato de ar. O torque é dado pela fórmula:
onde é a força e é o braço de momento. Para cada jato, temos:
Como temos dois orifícios, o torque total resultante será a soma dos torques de cada jato:
O momento de inércia da barra em relação ao eixo central é dado por:

Passo 4

Segundo a segunda lei de Newton para rotação, o torque total é igual ao produto do momento de inércia pela aceleração angular :
Substituindo os valores que encontramos:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos usar a cinemática rotacional para relacionar a aceleração angular com a velocidade angular final após o tempo . A fórmula é:
Substituindo na equação:
Resolvendo para :

Resposta

A força que cada jato de ar exerce sobre a barra é:

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