Qual tem mais energia cinética: uma partícula de massa M girando com velocidade angular em um círculo de raio R , ou uma esfera de massa M e raio R girando com velocidade angular omega ? Explique!

Passo 1

Vamos resolver essa questão que compara a energia cinética de duas situações diferentes: uma partícula de massa girando em um círculo de raio com velocidade angular e uma esfera sólida com a mesma massa e raio também girando com a mesma velocidade angular . Para isso, vamos usar as fórmulas de energia cinética relacionadas ao movimento circular e à rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética da partícula. A fórmula da energia cinética para um objeto em movimento circular é:
K = 12 M v^2
Aqui, v = omega R é a velocidade linear da partícula. Sabemos que a velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela relação:
Kpartícula = 12 M (omega R)^2 = 12 M R^2 omega^2
Substituindo na fórmula da energia cinética, temos:
í

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética da esfera sólida. Para objetos sólidos que giram, a energia cinética de rotação é dada por:
K = 12 I omega^2
Onde I = 25 M R^2 é o momento de inércia da esfera. Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Kesfera = 12 ( 25 M R^2 ) omega^2 = 15 M R^2 omega^2
Substituindo na fórmula da energia cinética:

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas energias cinéticas que calculamos:
Kpartícula = 12 M R^2 omega^2 í
Kesfera = 15 M R^2 omega^2
Para comparar, podemos observar os coeficientes: é maior que . Portanto, a energia cinética da partícula é maior do que a da esfera.

Resposta

A partícula de massa girando com velocidade angular em um círculo de raio tem mais energia cinética do que a esfera sólida com as mesmas massa, raio e velocidade angular.

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