Qual tem mais energia cinética: uma partícula de massa
girando com velocidade angular em um círculo de raio R , ou uma esfera de massa M e raio R girando com velocidade angular
? Explique!
Passo 1
Vamos resolver essa questão que compara a energia cinética de duas situações diferentes: uma partícula de massa
girando em um círculo de raio
com velocidade angular
e uma esfera sólida com a mesma massa
e raio
também girando com a mesma velocidade angular
. Para isso, vamos usar as fórmulas de energia cinética relacionadas ao movimento circular e à rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia cinética da partícula. A fórmula da energia cinética para um objeto em movimento circular é:
Aqui,
é a velocidade linear da partícula. Sabemos que a velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela relação:
Substituindo
na fórmula da energia cinética, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética da esfera sólida. Para objetos sólidos que giram, a energia cinética de rotação é dada por:
Onde
é o momento de inércia da esfera. Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Substituindo
na fórmula da energia cinética:
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas energias cinéticas que calculamos:
Para comparar, podemos observar os coeficientes:
é maior que
. Portanto, a energia cinética da partícula é maior do que a da esfera.
Resposta
A partícula de massa
girando com velocidade angular
em um círculo de raio
tem mais energia cinética do que a esfera sólida com as mesmas massa, raio e velocidade angular.
Exercícios relacionados
a. Se você empurrar um objeto por 10 m com uma força de 10 N na direção do movimento, quanto trabalho você realiza nisso?
b. Quanta potência você deve fornecer para empurrar o objeto em 1 s? Em 10 segundos? Em 0,1s?
b. Quanta potência você deve fornecer para empurrar o objeto em 1 s? Em 10 segundos? Em 0,1s?
Uma partícula de 1 kg movendo-se ao longo do eixo
experimenta a força mostrado no gráfico. Se a velocidade da partícula for
, qual é sua velocidade quando chega a
?
Uma roda rola para a esquerda ao longo de uma superfície horizontal, subindo uma rampa e continua ao longo da superfície horizontal superior. Desenhe gráficos para a velocidade angular da
e aceleração angular
em função do tempo.
Uma barra de metal de massa
e comprimento
pode girar em um plano horizontal em torno de um eixo vertical sem atrito que passa por seu centro. Um canal oco na barra permite que o ar comprimido (alimentado no eixo) saia de dois pequenos orifícios nas extremidades da barra, conforme mostrado. A barra acelera até a velocidade
angular em um intervalo de tempo
, partindo do repouso. Que força cada jato de ar que escapa exerce sobre a barra?
a. Na figura, desenhe vetores para mostrar as forças exercidas sobre a barra. Em seguida, rotule os braços de momento de cada força.
b. As forças no seu desenho exercem um torque sobre os eixos. Escreva uma expressão para cada torque e depois some-os para obter o torque resultante. Sua expressão deve ser em termos da força desconhecida F e de quantidades c. Qual é o momento de inércia desta barra em relação ao eixo?
d. De acordo com a segunda lei de Newton, o torque faz com que a barra sofra uma aceleração angular. Use os resultados das partes b e c para escrever uma expressão para a aceleração angular. Simplifique a expressão tanto quanto possível.
e. Agora você pode usar a cinemática rotacional para escrever uma expressão para a velocidade angular da barra após o tempo decorreu. Faça isso.
f. Finalmente, resolva sua equação na parte e para a força desconhecida. Este é agora um resultado que você poderia usar com medições experimentais para determinar o tamanho da força exercida pelo gás.
a. Na figura, desenhe vetores para mostrar as forças exercidas sobre a barra. Em seguida, rotule os braços de momento de cada força.
b. As forças no seu desenho exercem um torque sobre os eixos. Escreva uma expressão para cada torque e depois some-os para obter o torque resultante. Sua expressão deve ser em termos da força desconhecida F e de quantidades c. Qual é o momento de inércia desta barra em relação ao eixo?
d. De acordo com a segunda lei de Newton, o torque faz com que a barra sofra uma aceleração angular. Use os resultados das partes b e c para escrever uma expressão para a aceleração angular. Simplifique a expressão tanto quanto possível.
e. Agora você pode usar a cinemática rotacional para escrever uma expressão para a velocidade angular da barra após o tempo
f. Finalmente, resolva sua equação na parte e para a força desconhecida. Este é agora um resultado que você poderia usar com medições experimentais para determinar o tamanho da força exercida pelo gás.