Uma barra de metal é retirada do forno a uma temperatura de
. Três minutos depois, sua temperatura passa para
. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a
, se a temperatura do meio ambiente em que ela foi colocada for de exatamente
? Utilize a lei do Resfriamento de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma barra de metal que foi tirada do forno a
. Três minutos depois, ela esfria para
. Queremos descobrir quanto tempo vai levar para essa barra esfriar até
, que é a temperatura do ambiente. Para resolver isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a modelar como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em relação à temperatura ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Mathématicamente, isso é representado por:
onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo , -
é a temperatura do ambiente, -
é a constante de proporcionalidade positiva.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
E isolando
, temos a solução geral:
Passo 4
Agora, vamos usar as informações que temos para encontrar os valores de
e
. Sabemos que inicialmente, quando
,
. Substituindo na equação:
Então, a equação fica:
Passo 5
Também sabemos que após 3 minutos, a temperatura é
. Vamos usar isso para encontrar
:
Subtraindo 70 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 230:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 6
Vamos calcular o valor de
:
Passo 7
Agora que temos
, podemos escrever a equação completa:
Passo 8
Queremos encontrar o tempo
quando
:
Subtraindo 70 de ambos os lados:
Dividindo por 230:
Resposta
A equação
não tem solução finita, o que significa que a barra de metal nunca alcançará exatamente
em tempo finito. Na prática, ela se aproxima cada vez mais de
conforme o tempo passa, mas nunca chega exatamente a essa temperatura em um tempo finito.
Exercícios relacionados
Em uma cultura há inicialmente
bactérias. Uma hora depois,
, o número de bactérias passa a ser
. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique. Esboce a solução graficamente.
Calcule as integrais definidas abaixo, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
(d)
(d)
Obtenha a solução para a equação abaixo, que governa reações químicas de segunda ordem.
Inicialmente, 50 g de sal são dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque com uma vazão de 3 litros por minuto, e a solução bem misturada é então drenada na mesma vazão. Se a concentração da solução que entra é
por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantos gramas de sal está presente após 50 minutos? E depois de um longo tempo? Esboce a solução graficamente.