Uma barra de metal é retirada do forno a uma temperatura de 300 °F. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200 graus F. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70 graus F, se a temperatura do meio ambiente em que ela foi colocada for de exatamente 70 graus F ? Utilize a lei do Resfriamento de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma barra de metal que foi tirada do forno a . Três minutos depois, ela esfria para . Queremos descobrir quanto tempo vai levar para essa barra esfriar até , que é a temperatura do ambiente. Para resolver isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que nos ajuda a modelar como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em relação à temperatura ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Mathématicamente, isso é representado por:
onde:
  • T é a temperatura do objeto no tempo t,
  • é a temperatura do ambiente,
  • k é a constante de proporcionalidade positiva.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
E isolando T, temos a solução geral:

Passo 4

Agora, vamos usar as informações que temos para encontrar os valores de C e k. Sabemos que inicialmente, quando , . Substituindo na equação:
Então, a equação fica:

Passo 5

Também sabemos que após 3 minutos, a temperatura é . Vamos usar isso para encontrar k:
Subtraindo 70 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 230:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 6

Vamos calcular o valor de k:

Passo 7

Agora que temos k, podemos escrever a equação completa:

Passo 8

Queremos encontrar o tempo t quando :
Subtraindo 70 de ambos os lados:
Dividindo por 230:

Resposta

A equação não tem solução finita, o que significa que a barra de metal nunca alcançará exatamente em tempo finito. Na prática, ela se aproxima cada vez mais de conforme o tempo passa, mas nunca chega exatamente a essa temperatura em um tempo finito.

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