Calcule as integrais definidas abaixo, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
(d) integral1^3 2^x+2x+2 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar conhecer as antiderivadas de cada termo dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes menores para facilitar o cálculo:
integral1^3 2^x , dx + integral1^3 2x , dx + integral1^3 2x , dx + integral1^3 1 , dx
Isso é útil porque a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de cada termo:
  1. Para integral 2^x , dx = 2^xln(2) :
    A antiderivada de integral 2x , dx = 2 ln|x| é integral 2x , dx = 2 cdot x^22 = x^2 . Então,
    integral 1 , dx = x
  2. Para :
    Sabemos que . Então,
  3. Para :
    A antiderivada de é . Então,
  4. Para :
    A antiderivada de uma constante é . Então,

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar as antiderivadas no limite superior e inferior e subtrair:
[ 2^xln(2) + 2 ln|x| + x^2 + x ]1^3
Isso significa que vamos calcular a expressão acima para e para e depois subtrair o resultado.

Passo 5

Vamos calcular para 2^3ln(2) + 2 ln(3) + 3^2 + 3 = 8ln(2) + 2 ln(3) + 9 + 3 :
8ln(2) + 2 ln(3) + 12
Simplificando:
2^1ln(2) + 2 ln(1) + 1^2 + 1 = 2ln(2) + 2 cdot 0 + 1 + 1
Agora, para 2ln(2) + 0 + 1 + 1 = 2ln(2) + 2 :
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, subtraímos o valor em ( 8ln(2) + 2 ln(3) + 12 ) - ( 2ln(2) + 2 ) = 8 - 2ln(2) + 2 ln(3) + 12 - 2 do valor em 6ln(2) + 2 ln(3) + 10 :
Simplificando:

Resposta

A integral definida é igual a .

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