Obtenha a solução para a equação abaixo, que governa reações químicas de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação que modela reações químicas de segunda ordem:
Aqui, e são constantes diferentes. Nosso objetivo é encontrar a solução para em função do tempo . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e separação de variáveis. Vamos precisar integrar ambos os lados da equação para descobrir como varia com .
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Isso significa que queremos ter todos os termos com de um lado e os com do outro. Começamos dividindo ambos os lados por e multiplicando por :
Isso nos dá uma forma onde podemos integrar ambos os lados separadamente.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte da esquerda da equação:
Para integrar essa fração, vamos usar frações parciais. O objetivo é quebrar a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Assumimos que:
Nosso próximo passo é encontrar os valores de e .
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação acima por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores para que simplifiquem a equação. Primeiro, se :
Em seguida, se :
Passo 5
Agora que temos e , podemos escrever a integral original como:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Podemos combinar os logaritmos:
Passo 7
Voltando à nossa equação original, lembrando que:
Substituindo a integral que acabamos de calcular:
Onde é a constante de integração.
Passo 8
Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Onde ainda é uma constante.
Passo 9
Eliminamos o logaritmo aplicando a exponencial em ambos os lados:
Podemos reescrever como uma nova constante :
Passo 10
Agora, resolvemos para :
Distribuindo :
Reagrupando os termos com :
Finalmente, isolando :
Resposta
A solução geral da equação é:
onde é uma constante determinada pelas condições iniciais da reação.