Em uma cultura há inicialmente
bactérias. Uma hora depois,
, o número de bactérias passa a ser
. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique. Esboce a solução graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde inicialmente existem
bactérias. Depois de uma hora, o número delas passa para
. A questão diz que a taxa de crescimento das bactérias é proporcional ao número atual delas. A gente precisa descobrir quanto tempo vai levar para que o número de bactérias triplique, ou seja, chegue a
. Para resolver isso, vamos usar a teoria do crescimento exponencial, que envolve equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de crescimento ser proporcional ao número de bactérias. Isso quer dizer que a variação do número de bactérias ao longo do tempo,
, é igual a uma constante
vezes o número de bactérias
. Matematicamente, isso fica:
Essa é uma equação diferencial que descreve o crescimento exponencial.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, a gente separa as variáveis e integra:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Para facilitar, podemos reescrever isso como:
Aqui,
é o número inicial de bactérias quando
.
Passo 4
Sabemos que após uma hora (
), o número de bactérias é
. Vamos usar isso para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 5
Agora, queremos saber em quanto tempo
o número de bactérias triplica, ou seja,
. Usando a fórmula
:
Dividindo por
:
Aplicando o logaritmo natural:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Resposta
O tempo necessário para que o número de bactérias triplique é aproximadamente 2,71 horas.
Gráfico
(Aqui você deve esboçar um gráfico exponencial onde no tempo
,
, em
,
, e em
horas,
. O gráfico deve mostrar uma curva crescente exponencialmente.)
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas abaixo, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
(d)
(d)
Calcule a integral definida abaixo pela definição:
Uma barra de metal é retirada do forno a uma temperatura de
. Três minutos depois, sua temperatura passa para
. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a
, se a temperatura do meio ambiente em que ela foi colocada for de exatamente
? Utilize a lei do Resfriamento de Newton.
Obtenha a solução para a equação abaixo, que governa reações químicas de segunda ordem.