Em uma cultura há inicialmente N0 bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número de bactérias passa a ser 3/2 N0. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique. Esboce a solução graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde inicialmente existem bactérias. Depois de uma hora, o número delas passa para . A questão diz que a taxa de crescimento das bactérias é proporcional ao número atual delas. A gente precisa descobrir quanto tempo vai levar para que o número de bactérias triplique, ou seja, chegue a . Para resolver isso, vamos usar a teoria do crescimento exponencial, que envolve equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de crescimento ser proporcional ao número de bactérias. Isso quer dizer que a variação do número de bactérias ao longo do tempo, , é igual a uma constante vezes o número de bactérias . Matematicamente, isso fica:
Essa é uma equação diferencial que descreve o crescimento exponencial.

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, a gente separa as variáveis e integra:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Para facilitar, podemos reescrever isso como:
Aqui, é o número inicial de bactérias quando .

Passo 4

Sabemos que após uma hora ( ), o número de bactérias é . Vamos usar isso para encontrar :
Dividindo ambos os lados por :
Aplicando o logaritmo natural:

Passo 5

Agora, queremos saber em quanto tempo o número de bactérias triplica, ou seja, . Usando a fórmula :
Dividindo por :
Aplicando o logaritmo natural:
Substituindo :
Resolvendo para :

Resposta

O tempo necessário para que o número de bactérias triplique é aproximadamente 2,71 horas.

Gráfico

(Aqui você deve esboçar um gráfico exponencial onde no tempo , , em , , e em horas, . O gráfico deve mostrar uma curva crescente exponencialmente.)

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