Inicialmente, 50 g de sal são dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque com uma vazão de 3 litros por minuto, e a solução bem misturada é então drenada na mesma vazão. Se a concentração da solução que entra é
por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantos gramas de sal está presente após 50 minutos? E depois de um longo tempo? Esboce a solução graficamente.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Inicialmente, temos 50 gramas de sal dissolvidos em 300 litros de água. Uma solução salina com 2 gramas de sal por litro está sendo adicionada ao tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e ao mesmo tempo, a solução misturada está sendo retirada na mesma taxa. Queremos descobrir quanto sal há no tanque a qualquer instante, especificamente após 50 minutos e depois de muito tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais aplicadas a misturas.
Passo 2
Primeiro, precisamos estabelecer a taxa de variação da quantidade de sal no tanque ao longo do tempo. Vamos chamar
de quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante
(em minutos).
A taxa de entrada de sal é dada pela concentração da solução que entra multiplicada pela vazão:
A taxa de saída de sal depende da concentração da solução no tanque. Como o volume total de água permanece constante (300 litros), a concentração no tanque é
g/L. Então, a taxa de saída é:
Passo 3
A taxa de variação da quantidade de sal no tanque é a diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída. Assim, temos a equação diferencial:
Passo 4
Vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolvê-la usando um fator integrante.
Passo 5
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial. No instante
, temos 50 gramas de sal:
Portanto, a solução da equação é:
Resposta
A quantidade de sal no tanque em qualquer instante
é dada por:
Após 50 minutos:
Depois de um longo tempo (
):
Gráfico: A função
começa em 50 gramas, sobe até aproximadamente 600 gramas de forma assintótica conforme
aumenta.
Exercícios relacionados
Obtenha a solução para a equação abaixo, que governa reações químicas de segunda ordem.
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. Três minutos depois, sua temperatura passa para
. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a
, se a temperatura do meio ambiente em que ela foi colocada for de exatamente
? Utilize a lei do Resfriamento de Newton.
Calcule as integrais definidas abaixo, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
(a)
(a)
Calcule as integrais definidas abaixo, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
(f)
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