(4) Uma barra não condutora carregada, com um comprimento de 2,0 m e uma seção reta de 4,0 m^2, está sobre o semieixo x positivo com uma das extremidades na origem. A densidade volumétrica de carga rho é a carga por unidade de volume em C / m^3. Determine quantos elétrons em excesso existem na barra se (A) rho é uniforme, com valor de -4,0 mu C / m^3;
(B) o valor de rho é dado pela expressão rho=b x^2 sendo b=2,0 mu C / m^5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletricidade estática! A gente tem uma barra não condutora carregada que está sobre o eixo positivo, com comprimento de 2,0 m e uma área de seção de . A barra tem uma densidade volumétrica de carga (carga por unidade de volume) e queremos descobrir quantos elétrons extras estão na barra. Vamos precisar usar conceitos de densidade de carga, volume da barra e a relação entre carga e número de elétrons.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da barra. O volume V = L times A é dado pelo produto do comprimento V = 2,0 , m times 4,0 , m^2 = 8,0 , m^3 pela área da seção transversal :
Aqui, e , então:

Passo 3

Agora, sabemos que a densidade volumétrica de carga rho = QV é a carga total Q = rho times V dividida pelo volume -4,0 , muC/m^3 = -4,0 times 10^-6 , C/m^3 :
Q = -4,0 times 10^-6 , C/m^3 times 8,0 , m^3 = -3,2 times 10^-5 , C
Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:
Para a parte (A), . Precisamos converter microcoulombs para coulombs:
Calculando a carga total :

Passo 4

Sabemos que a carga de um elétron é n = Qe . Para encontrar o número de elétrons extras n = -3,2 times 10^-5 , C-1,6 times 10^-19 , C/e<=ctron = 2,0 times 10^14 , elétrons , usamos:
Substituindo os valores:
é

Passo 5

Agora, para a parte (B), a densidade de carga b = 2,0 , muC/m^5 = 2,0 times 10^-6 , C/m^5 não é mais uniforme, mas varia com segundo a expressão , onde . Primeiro, vamos converter :

Passo 6

Para encontrar a carga total Q = integral0^L rho(x) times A , dx = integral0^2,0 b x^2 times 4,0 , dx quando Q = 4,0 times 2,0 times 10^-6 integral0^2 x^2 , dx = 8,0 times 10^-6 [ x^33 ]0^2 varia com Q = 8,0 times 10^-6 times 83 = 643 times 10^-6 , C approx 2,13 times 10^-5 , C , precisamos integrar ao longo do comprimento da barra:
Substituindo e simplificando:
Calculando a integral:

Passo 7

Agora, usando a mesma relação entre carga e número de elétrons:
n = Qe = 2,13 times 10^-5 , C1,6 times 10^-19 , C/e<=ctron approx 1,33 times 10^14 , elétrons é

Resposta

(A) A barra possui aproximadamente elétrons em excesso.
(B) A barra possui aproximadamente elétrons em excesso.

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