(4) Uma barra não condutora carregada, com um comprimento de 2,0 m e uma seção reta de , está sobre o semieixo positivo com uma das extremidades na origem. A densidade volumétrica de carga é a carga por unidade de volume em . Determine quantos elétrons em excesso existem na barra se (A) é uniforme, com valor de ;
(B) o valor de é dado pela expressão sendo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletricidade estática! A gente tem uma barra não condutora carregada que está sobre o eixo positivo, com comprimento de 2,0 m e uma área de seção de . A barra tem uma densidade volumétrica de carga (carga por unidade de volume) e queremos descobrir quantos elétrons extras estão na barra. Vamos precisar usar conceitos de densidade de carga, volume da barra e a relação entre carga e número de elétrons.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da barra. O volume é dado pelo produto do comprimento pela área da seção transversal :
Aqui, e , então:

Passo 3

Agora, sabemos que a densidade volumétrica de carga é a carga total dividida pelo volume :
Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:
Para a parte (A), . Precisamos converter microcoulombs para coulombs:
Calculando a carga total :

Passo 4

Sabemos que a carga de um elétron é . Para encontrar o número de elétrons extras , usamos:
Substituindo os valores:
é

Passo 5

Agora, para a parte (B), a densidade de carga não é mais uniforme, mas varia com segundo a expressão , onde . Primeiro, vamos converter :

Passo 6

Para encontrar a carga total quando varia com , precisamos integrar ao longo do comprimento da barra:
Substituindo e simplificando:
Calculando a integral:

Passo 7

Agora, usando a mesma relação entre carga e número de elétrons:
é

Resposta

(A) A barra possui aproximadamente elétrons em excesso.
(B) A barra possui aproximadamente elétrons em excesso.

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