(4) Uma barra não condutora carregada, com um comprimento de 2,0 m e uma seção reta de
, está sobre o semieixo
positivo com uma das extremidades na origem. A densidade volumétrica de carga
é a carga por unidade de volume em
. Determine quantos elétrons em excesso existem na barra se (A)
é uniforme, com valor de
;
(B) o valor de
é dado pela expressão
sendo
.
(B) o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletricidade estática! A gente tem uma barra não condutora carregada que está sobre o eixo
positivo, com comprimento de 2,0 m e uma área de seção de
. A barra tem uma densidade volumétrica de carga
(carga por unidade de volume) e queremos descobrir quantos elétrons extras estão na barra. Vamos precisar usar conceitos de densidade de carga, volume da barra e a relação entre carga e número de elétrons.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume da barra. O volume
é dado pelo produto do comprimento
pela área da seção transversal
:
Aqui,
e
, então:
Passo 3
Agora, sabemos que a densidade volumétrica de carga
é a carga total
dividida pelo volume
:
Queremos encontrar
, então rearranjamos a fórmula:
Para a parte (A),
. Precisamos converter microcoulombs para coulombs:
Calculando a carga total
:
Passo 4
Sabemos que a carga de um elétron é
. Para encontrar o número de elétrons extras
, usamos:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, para a parte (B), a densidade de carga
não é mais uniforme, mas varia com
segundo a expressão
, onde
. Primeiro, vamos converter
:
Passo 6
Para encontrar a carga total
quando
varia com
, precisamos integrar
ao longo do comprimento da barra:
Substituindo
e simplificando:
Calculando a integral:
Passo 7
Agora, usando a mesma relação entre carga e número de elétrons:
Resposta
(A) A barra possui aproximadamente
elétrons em excesso.
(B) A barra possui aproximadamente
elétrons em excesso.