Determine a força total exercida pela água sobre a parede vertical submersa e o ponto onde essa força está atuando em relação ao eixo coordenado dado.
Dados: considere a pressão hidrostática , onde onde é a densidade da água, é a aceleração da gravidade e a profundidade da água a partir da superfície.
Questaio 4

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado nos pede. Precisamos encontrar a força total que a água exerce sobre uma parede vertical submersa e também determinar o ponto onde essa força está atuando. Para resolver isso, vamos usar conceitos de pressão hidrostática e integração, já que a pressão varia com a profundidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão hidrostática em um ponto a uma profundidade é dada por:
onde:
  • é a densidade da água,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a profundidade a partir da superfície.
Essa fórmula nos diz que a pressão aumenta linearmente com a profundidade.

Passo 3

Para encontrar a força total exercida pela água na parede, precisamos considerar que essa força é a resultante da pressão distribuída sobre a área da parede. A força diferencial em uma pequena área da parede é:
Como a parede é vertical e submersa, podemos expressar a área diferencial em termos de uma largura e um diferencial de profundidade :
Portanto, a força diferencial fica:

Passo 4

Para encontrar a força total , integramos desde a superfície ( ) até uma profundidade máxima :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Resolvendo a integral:

Passo 6

Agora, para encontrar o ponto de aplicação dessa força, precisamos determinar o centro de pressão . Ele está localizado onde a força resultante pode ser considerada aplicada. O centro de pressão para uma superfície vertical é dado por:
Substituindo e :

Passo 7

Calculando as integrais:
Então:

Resposta

A força total exercida pela água sobre a parede vertical submersa é:
E o ponto onde essa força está atuando está localizado a uma profundidade de:

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