Determine a força total F exercida pela água sobre a parede vertical submersa e o ponto rc=xc imath+zc k onde essa força está atuando em relação ao eixo coordenado dado.
Dados: considere a pressão hidrostática p(z)=rho g z, onde onde rho é a densidade da água, g é a aceleração da gravidade e z a profundidade da água a partir da superfície.
Questaio 4

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado nos pede. Precisamos encontrar a força total F que a água exerce sobre uma parede vertical submersa e também determinar o ponto rc=xc imath+zc k onde essa força está atuando. Para resolver isso, vamos usar conceitos de pressão hidrostática e integração, já que a pressão varia com a profundidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão hidrostática p(z) em um ponto a uma profundidade z é dada por:
p(z) = rho g z
onde:
  • rho é a densidade da água,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • z é a profundidade a partir da superfície.
Essa fórmula nos diz que a pressão aumenta linearmente com a profundidade.

Passo 3

Para encontrar a força total F exercida pela água na parede, precisamos considerar que essa força é a resultante da pressão distribuída sobre a área da parede. A força diferencial em uma pequena área dA da parede é:
dF = p(z) , dA
Como a parede é vertical e submersa, podemos expressar a área diferencial em termos de uma largura b e um diferencial de profundidade dz:
dA = b , dz
Portanto, a força diferencial fica:
dF = rho g z , b , dz

Passo 4

Para encontrar a força total F, integramos dF desde a superfície ( z=0) até uma profundidade máxima h:
F = integral0^h rho g z , b , dz
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Resolvendo a integral:
F = rho g b integral0^h z , dz = rho g b [ z^22 ]0^h = rho g b ( h^22 - 0 ) = 12 rho g b h^2

Passo 6

Agora, para encontrar o ponto de aplicação dessa força, precisamos determinar o centro de pressão rc. Ele está localizado onde a força resultante pode ser considerada aplicada. O centro de pressão para uma superfície vertical é dado por:
zc = integral0^h z cdot p(z) , dAintegral0^h p(z) , dA
Substituindo p(z) = rho g z e dA = b , dz:
zc = rho g b integral0^h z^2 , dzrho g b integral0^h z , dz = integral0^h z^2 , dzintegral0^h z , dz

Passo 7

Calculando as integrais:
integral0^h z^2 , dz = [ z^33 ]0^h = h^33
integral0^h z , dz = [ z^22 ]0^h = h^22
Então:
zc = h^33h^22 = 2h3

Resposta

A força total exercida pela água sobre a parede vertical submersa é:
F = 12 rho g b h^2
E o ponto onde essa força está atuando está localizado a uma profundidade de:
zc = 23 h

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