Determine a força total
exercida pela água sobre a parede vertical submersa e o ponto
onde essa força está atuando em relação ao eixo coordenado dado.
Dados: considere a pressão hidrostática
, onde onde
é a densidade da água,
é a aceleração da gravidade e
a profundidade da água a partir da superfície.
Questaio 4
Dados: considere a pressão hidrostática
Questaio 4
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado nos pede. Precisamos encontrar a força total
que a água exerce sobre uma parede vertical submersa e também determinar o ponto
onde essa força está atuando. Para resolver isso, vamos usar conceitos de pressão hidrostática e integração, já que a pressão varia com a profundidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão hidrostática
em um ponto a uma profundidade
é dada por:
onde:
-
é a densidade da água, -
é a aceleração da gravidade, -
é a profundidade a partir da superfície.
Essa fórmula nos diz que a pressão aumenta linearmente com a profundidade.
Passo 3
Para encontrar a força total
exercida pela água na parede, precisamos considerar que essa força é a resultante da pressão distribuída sobre a área da parede. A força diferencial em uma pequena área
da parede é:
Como a parede é vertical e submersa, podemos expressar a área diferencial em termos de uma largura
e um diferencial de profundidade
:
Portanto, a força diferencial fica:
Passo 4
Para encontrar a força total
, integramos
desde a superfície (
) até uma profundidade máxima
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Resolvendo a integral:
Passo 6
Agora, para encontrar o ponto de aplicação dessa força, precisamos determinar o centro de pressão
. Ele está localizado onde a força resultante pode ser considerada aplicada. O centro de pressão para uma superfície vertical é dado por:
Substituindo
e
:
Passo 7
Calculando as integrais:
Então:
Resposta
A força total exercida pela água sobre a parede vertical submersa é:
E o ponto onde essa força está atuando está localizado a uma profundidade de:
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, massa
e peso
, feito de material homogêneo, com densidade
, e sob aceleração da gravidade constante
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do seu centro de massa e à posição
do seu centro de gravidade.
Dados: posição do centróide: ;
posição do centro de massa: ;
posição do centro de gravidade: , onde
,
é a coordenada da massa
, cujo peso é
e o volume é
. Dica: não é preciso resolver as integrais; basta mostrar que
, e
são obtidos pelas mesmas integrais.
Dados: posição do centróide:
posição do centro de massa:
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;
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.
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