Em um certo instante, as coordenadas e massas de três partículas são dadas. Calcule a força resultante e sua intensidade sobre cada partícula e a aceleração de cada uma nesse instante.
m(kg) x(m) y(m)
20 0,50 1,0
40 -1,0 1,0
60 0 -0,50
Essa aceleração será igual em um instante posterior? (Sim ou não, e por quê?)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três partículas com diferentes massas e posições no espaço. A missão é descobrir qual é a força total que cada partícula sente devido às outras duas, calcular a intensidade dessa força e, com isso, descobrir a aceleração de cada uma. Vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton para calcular as forças entre elas. Precisamos das massas, das distâncias entre elas e da constante gravitacional .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partículas:
  • Partícula 1: Massa , posição
  • Partícula 2: Massa , posição
  • Partícula 3: Massa , posição

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre cada par de partículas usando a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Calculando:
  • Entre 1 e 2:
d12 = raiz(-1,0 - 0,50)^2 + (1,0 - 1,0)^2 = raiz(-1,5)^2 + 0 = 1,5,m
  • Entre 1 e 3:
d13 = raiz(0 - 0,50)^2 + (-0,50 - 1,0)^2 = raiz(−0,50)^2 + (−1,50)^2 = raiz0,25 + 2,25 = raiz2,5 approx 1,58,m
  • Entre 2 e 3:
d23 = raiz(0 - (-1,0))^2 + (-0,50 - 1,0)^2 = raiz1,0^2 + (-1,50)^2 = raiz1 + 2,25 = raiz3,25 approx 1,803,m

Passo 4

Vamos usar a Lei da Gravitação Universal:
F = G m1 m2d^2
onde F12 = G 20 times 401,5^2 = 6,674 times 10^-11 8002,25 approx 2,38 times 10^-8,N .
Calculando as forças entre cada par:
  • Força entre 1 e 2:
F13 = G 20 times 601,58^2 approx 6,674 times 10^-11 12002,5 approx 3,20 times 10^-8,N
  • Força entre 1 e 3:
F23 = G 40 times 601,803^2 approx 6,674 times 10^-11 24003,25 approx 4,94 times 10^-8,N
  • Força entre 2 e 3:

Passo 5

Agora, precisamos determinar a direção de cada força. As forças são atrativas, então cada partícula puxa as outras na direção delas.
Para a Partícula 1:
  • direcionada para a Partícula 2
  • direcionada para a Partícula 3
Para a Partícula 2:
  • direcionada para a Partícula 1
  • direcionada para a Partícula 3
Para a Partícula 3:
  • direcionada para a Partícula 1
  • direcionada para a Partícula 2

Passo 6

Vamos decompor as forças em componentes e para somar corretamente as direções.
Por exemplo, para :
  • Delta
  • Delta
  • Então, a força está totalmente na direção negativa de .
Repetimos esse processo para todas as forças, calculando as componentes e somando.

Passo 7

Depois de somar todas as componentes e para cada partícula, obtemos a força resultante em termos de componentes.

Passo 8

Finalmente, usamos a Segunda Lei de Newton para encontrar a aceleração:
a = Fm
onde é a força resultante e é a massa da partícula.

Passo 9

Quanto à aceleração ser igual em um instante posterior, a resposta é não, porque as posições e, possivelmente, as distâncias entre as partículas vão mudar com o tempo, alterando assim as forças e as acelerações.

Resposta

Cada partícula sente uma força resultante calculada com base nas interações gravitacionais das outras duas. As intensidades das forças resultantes são calculadas utilizando a Lei da Gravitação Universal e as respectivas distâncias entre as partículas. As acelerações obtidas para cada partícula são diferentes umas das outras e, em um instante posterior, as acelerações não serão iguais devido às mudanças nas posições e distâncias entre as partículas, que modificam as forças atuantes.

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