Uma nave viaja da Terra até a Lua em trajetória retilínea ligando os centros dos dois corpos. A que distância do centro da Terra a força gravitacional total sobre a nave se anula?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma nave que vai da Terra até a Lua em uma linha reta que conecta os centros dos dois corpos. A pergunta é: a que distância do centro da Terra a força gravitacional total sobre a nave se anula?
Aqui, vamos usar conceitos de Gravitação Universal, especificamente as leis da gravitação de Newton. Precisaremos das massas da Terra e da Lua, da distância entre elas e das fórmulas para calcular a força gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força gravitacional entre dois corpos, que é dada por:
F = G M mr^2
Onde:
  • é a força gravitacional,
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa do primeiro corpo,
  • é a massa do segundo corpo,
  • é a distância entre os centros dos dois corpos.

Passo 3

No nosso caso, a nave está sendo puxada pela Terra e pela Lua. Queremos encontrar o ponto onde essas duas forças se cancelam, ou seja, onde a força da Terra sobre a nave é igual em módulo à força da Lua sobre a nave.
Vamos chamar de:
  • a massa da Terra,
  • a massa da Lua,
  • a distância entre a Terra e a Lua,
  • a distância do centro da Terra até o ponto onde as forças se anulam.

Passo 4

A força gravitacional da Terra sobre a nave será:
FT = G MT mx^2
E a força gravitacional da Lua sobre a nave será:
FL = G ML m(D - x)^2

Passo 5

No ponto onde as forças se anulam, temos G MT mx^2 = G ML m(D - x)^2 . Então:
MTx^2 = ML(D - x)^2
Podemos simplificar essa equação cancelando e dos dois lados:

Passo 6

Agora, vamos resolver para MT (D - x)^2 = ML x^2 . Vamos multiplicar ambos os lados por MT (D^2 - 2D x + x^2) = ML x^2 para eliminar os denominadores:
MT D^2 - 2 MT D x + MT x^2 = ML x^2
Expandindo :
Distribuindo :

Passo 7

Vamos reunir os termos semelhantes:
MT D^2 - 2 MT D x + MT x^2 - ML x^2 = 0
Fatorando MT D^2 - 2 MT D x + (MT - ML) x^2 = 0 :

Passo 8

Para simplificar, podemos rearranjar a equação:
(MT - ML) x^2 - 2 MT D x + MT D^2 = 0
Essa é uma equação quadrática na forma , onde:
  • ,
  • ,
  • .

Passo 9

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo x = 2 MT D pm raiz( -2 MT D)^2 - 4 (MT - ML) (MT D^2)2 (MT - ML) , x = 2 MT D pm raiz4 MT^2 D^2 - 4 (MT - ML) MT D^22 (MT - ML) e x = 2 MT D pm raiz4 MT D^2 (MT - (MT - ML))2 (MT - ML) :
x = 2 MT D pm raiz4 MT D^2 ML2 (MT - ML)
Simplificando dentro da raiz:
x = 2 MT D pm 2 raizMT ML D2 (MT - ML)
Fatorando 4 e x = MT D pm raizMT ML DMT - ML :
Simplificando dentro da raiz:
Extraindo a raiz de 4:
Cancelando o 2:

Passo 10

Como estamos procurando uma distância positiva entre Terra e Lua, descartamos a solução com o sinal negativo. Portanto:
x = MT D + raizMT ML DMT - ML
Podemos fatorar x = D ( MT + raizMT MLMT - ML ) :
Essa é a distância do centro da Terra onde a força gravitacional total sobre a nave se anula.

Resposta

A distância do centro da Terra onde a força gravitacional total sobre a nave se anula é:
x = D ( MT + raizMT MLMT - ML )

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