Uma nave viaja da Terra até a Lua em trajetória retilínea ligando os centros dos dois corpos. A que distância do centro da Terra a força gravitacional total sobre a nave se anula?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma nave que vai da Terra até a Lua em uma linha reta que conecta os centros dos dois corpos. A pergunta é: a que distância do centro da Terra a força gravitacional total sobre a nave se anula?
Aqui, vamos usar conceitos de Gravitação Universal, especificamente as leis da gravitação de Newton. Precisaremos das massas da Terra e da Lua, da distância entre elas e das fórmulas para calcular a força gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força gravitacional entre dois corpos, que é dada por:
Onde:
-
é a força gravitacional, -
é a constante gravitacional, -
é a massa do primeiro corpo, -
é a massa do segundo corpo, -
é a distância entre os centros dos dois corpos.
Passo 3
No nosso caso, a nave está sendo puxada pela Terra e pela Lua. Queremos encontrar o ponto onde essas duas forças se cancelam, ou seja, onde a força da Terra sobre a nave é igual em módulo à força da Lua sobre a nave.
Vamos chamar de:
-
a massa da Terra, -
a massa da Lua, -
a distância entre a Terra e a Lua, -
a distância do centro da Terra até o ponto onde as forças se anulam.
Passo 4
A força gravitacional da Terra sobre a nave será:
E a força gravitacional da Lua sobre a nave será:
Passo 5
No ponto onde as forças se anulam, temos
. Então:
Podemos simplificar essa equação cancelando
e
dos dois lados:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
. Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo
:
Distribuindo
:
Passo 7
Vamos reunir os termos semelhantes:
Fatorando
:
Passo 8
Para simplificar, podemos rearranjar a equação:
Essa é uma equação quadrática na forma
, onde:
-
, -
, -
.
Passo 9
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo
,
e
:
Simplificando dentro da raiz:
Fatorando 4 e
:
Simplificando dentro da raiz:
Extraindo a raiz de 4:
Cancelando o 2:
Passo 10
Como estamos procurando uma distância positiva entre Terra e Lua, descartamos a solução com o sinal negativo. Portanto:
Podemos fatorar
:
Essa é a distância do centro da Terra onde a força gravitacional total sobre a nave se anula.
Resposta
A distância do centro da Terra onde a força gravitacional total sobre a nave se anula é:
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;
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.
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Questaio 4
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Questaio 4
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---|---|---|
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40 |
|
1,0 |
60 | 0 |
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.