Uma nave viaja da Terra até a Lua em trajetória retilínea ligando os centros dos dois corpos. A que distância do centro da Terra a força gravitacional total sobre a nave se anula?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma nave que vai da Terra até a Lua em uma linha reta que conecta os centros dos dois corpos. A pergunta é: a que distância do centro da Terra a força gravitacional total sobre a nave se anula?
Aqui, vamos usar conceitos de Gravitação Universal, especificamente as leis da gravitação de Newton. Precisaremos das massas da Terra e da Lua, da distância entre elas e das fórmulas para calcular a força gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da força gravitacional entre dois corpos, que é dada por:
Onde:
  • é a força gravitacional,
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa do primeiro corpo,
  • é a massa do segundo corpo,
  • é a distância entre os centros dos dois corpos.

Passo 3

No nosso caso, a nave está sendo puxada pela Terra e pela Lua. Queremos encontrar o ponto onde essas duas forças se cancelam, ou seja, onde a força da Terra sobre a nave é igual em módulo à força da Lua sobre a nave.
Vamos chamar de:
  • a massa da Terra,
  • a massa da Lua,
  • a distância entre a Terra e a Lua,
  • a distância do centro da Terra até o ponto onde as forças se anulam.

Passo 4

A força gravitacional da Terra sobre a nave será:
E a força gravitacional da Lua sobre a nave será:

Passo 5

No ponto onde as forças se anulam, temos . Então:
Podemos simplificar essa equação cancelando e dos dois lados:

Passo 6

Agora, vamos resolver para . Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo :
Distribuindo :

Passo 7

Vamos reunir os termos semelhantes:
Fatorando :

Passo 8

Para simplificar, podemos rearranjar a equação:
Essa é uma equação quadrática na forma , onde:
  • ,
  • ,
  • .

Passo 9

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo , e :
Simplificando dentro da raiz:
Fatorando 4 e :
Simplificando dentro da raiz:
Extraindo a raiz de 4:
Cancelando o 2:

Passo 10

Como estamos procurando uma distância positiva entre Terra e Lua, descartamos a solução com o sinal negativo. Portanto:
Podemos fatorar :
Essa é a distância do centro da Terra onde a força gravitacional total sobre a nave se anula.

Resposta

A distância do centro da Terra onde a força gravitacional total sobre a nave se anula é:

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