Dado um corpo
de volume
, massa
e peso
, feito de material homogêneo, com densidade
, e sob aceleração da gravidade constante
. Mostre que a posição
do centróide de
é igual à posição
do seu centro de massa e à posição
do seu centro de gravidade.
Dados: posição do centróide:
;
posição do centro de massa:
;
posição do centro de gravidade:
, onde
,
é a coordenada da massa
, cujo peso é
e o volume é
. Dica: não é preciso resolver as integrais; basta mostrar que
, e
são obtidos pelas mesmas integrais.
Dados: posição do centróide:
posição do centro de massa:
posição do centro de gravidade:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um corpo
com volume
, massa
e peso
. O material é homogêneo, o que significa que a densidade
é constante. A gravidade
também é constante. A questão quer que a gente mostre que a posição do centróide
, a posição do centro de massa
e a posição do centro de gravidade
são todas iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas posições representa e como elas são calculadas usando integrais.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é o centróide. O centróide
é basicamente o “centro geométrico” do corpo. Para calcular a posição do centróide, usamos a fórmula:
Aqui,
representa a posição de um ponto qualquer dentro do corpo, e a integral soma todas essas posições ponderadas pelo volume infinitesimal
.
Passo 3
Agora, vamos para o centro de massa
. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do corpo está concentrada. A fórmula para calcular a posição do centro de massa é:
Como o corpo é homogêneo, a massa infinitesimal
pode ser escrita em termos da densidade
e do volume infinitesimal
:
Substituindo isso na fórmula do centro de massa:
E como
, podemos simplificar:
Ou seja,
.
Passo 4
Por último, vamos olhar para o centro de gravidade
. O centro de gravidade é o ponto onde podemos considerar que toda a força da gravidade atua. A fórmula para calcular a posição do centro de gravidade é:
Sabemos que o peso infinitesimal
é dado por
. Substituindo isso na fórmula:
Novamente, usando
e
:
E, como antes,
, então:
Portanto,
.
Resposta
Mostramos que
. Ou seja, a posição do centróide, do centro de massa e do centro de gravidade são todas iguais para um corpo homogêneo.