Dado um corpo de volume , massa e peso , feito de material homogêneo, com densidade , e sob aceleração da gravidade constante . Mostre que a posição do centróide de é igual à posição do seu centro de massa e à posição do seu centro de gravidade.
Dados: posição do centróide: ;
posição do centro de massa: ;
posição do centro de gravidade: , onde , é a coordenada da massa , cujo peso é e o volume é . Dica: não é preciso resolver as integrais; basta mostrar que , e são obtidos pelas mesmas integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um corpo com volume , massa e peso . O material é homogêneo, o que significa que a densidade é constante. A gravidade também é constante. A questão quer que a gente mostre que a posição do centróide , a posição do centro de massa e a posição do centro de gravidade são todas iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas posições representa e como elas são calculadas usando integrais.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é o centróide. O centróide é basicamente o “centro geométrico” do corpo. Para calcular a posição do centróide, usamos a fórmula:
Aqui, representa a posição de um ponto qualquer dentro do corpo, e a integral soma todas essas posições ponderadas pelo volume infinitesimal .

Passo 3

Agora, vamos para o centro de massa . O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do corpo está concentrada. A fórmula para calcular a posição do centro de massa é:
Como o corpo é homogêneo, a massa infinitesimal pode ser escrita em termos da densidade e do volume infinitesimal :
Substituindo isso na fórmula do centro de massa:
E como , podemos simplificar:
Ou seja, .

Passo 4

Por último, vamos olhar para o centro de gravidade . O centro de gravidade é o ponto onde podemos considerar que toda a força da gravidade atua. A fórmula para calcular a posição do centro de gravidade é:
Sabemos que o peso infinitesimal é dado por . Substituindo isso na fórmula:
Novamente, usando e :
E, como antes, , então:
Portanto, .

Resposta

Mostramos que . Ou seja, a posição do centróide, do centro de massa e do centro de gravidade são todas iguais para um corpo homogêneo.

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