Dado um corpo C de volume V, massa M e peso P=M g, feito de material homogêneo, com densidade rho=M / V=d m / d V, e sob aceleração da gravidade constante g. Mostre que a posição tilder do centróide de C é igual à posição CC M do seu centro de massa e à posição tauC C do seu centro de gravidade.
Dados: posição do centróide: tilder=1V integralC r d V;
posição do centro de massa: rC M=1M integralC r d m;
posição do centro de gravidade: rC G=1p integralC r d P, onde r=barx imath+y j+z k, rC M=xC M imath+yC M jmath+zC M k, rc G=xC G imath+yc G jmath+zc G bark ; e r=x imath+y jmath+z k é a coordenada da massa d m, cujo peso é d P e o volume é d V. Dica: não é preciso resolver as integrais; basta mostrar que ri, rC M, e rC G são obtidos pelas mesmas integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um corpo com volume , massa e peso . O material é homogêneo, o que significa que a densidade é constante. A gravidade também é constante. A questão quer que a gente mostre que a posição do centróide , a posição do centro de massa e a posição do centro de gravidade são todas iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas posições representa e como elas são calculadas usando integrais.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é o centróide. O centróide tilder = 1V integralC r , dV é basicamente o “centro geométrico” do corpo. Para calcular a posição do centróide, usamos a fórmula:
Aqui, representa a posição de um ponto qualquer dentro do corpo, e a integral soma todas essas posições ponderadas pelo volume infinitesimal .

Passo 3

Agora, vamos para o centro de massa rCM = 1M integralC r , dm . O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do corpo está concentrada. A fórmula para calcular a posição do centro de massa é:
dm = rho , dV
Como o corpo é homogêneo, a massa infinitesimal rCM = 1M integralC r , rho , dV pode ser escrita em termos da densidade rCM = 1M cdot MV integralC r , dV = 1V integralC r , dV e do volume infinitesimal :
Substituindo isso na fórmula do centro de massa:
E como , podemos simplificar:
Ou seja, .

Passo 4

Por último, vamos olhar para o centro de gravidade rCG = 1P integralC r , dP . O centro de gravidade é o ponto onde podemos considerar que toda a força da gravidade atua. A fórmula para calcular a posição do centro de gravidade é:
rCG = 1P integralC r , g , dm
Sabemos que o peso infinitesimal rCG = 1M g integralC r , g , rho , dV = 1M integralC r , rho , dV é dado por rCG = 1V integralC r , dV . Substituindo isso na fórmula:
Novamente, usando e :
E, como antes, , então:
Portanto, .

Resposta

Mostramos que . Ou seja, a posição do centróide, do centro de massa e do centro de gravidade são todas iguais para um corpo homogêneo.

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