Uma barra não-condutora de comprimento
, tem uma carga
uniformemente distribuída. (a) Qual é a densidade linear de cargas da barra? (b) Determine o módulo e a direção (em relação a
) do campo elétrico produzido no ponto
, situado a uma distância
da extremidade da barra.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra não-condutora com carga distribuída de forma uniforme, e precisa encontrar duas coisas: primeiro, a densidade linear de carga da barra, e segundo, o campo elétrico em um ponto específico. Vamos usar conceitos de eletrostática, como densidade de carga e campo elétrico gerado por distribuições de carga.
Passo 2
Parte (a): Encontrar a densidade linear de carga.
A densidade linear de carga, geralmente representada por
, é a quantidade de carga por unidade de comprimento. Como a carga está distribuída de forma uniforme na barra, podemos calcular
dividindo a carga total
pelo comprimento da barra
.
A fórmula é:
Vamos substituir os valores dados:
Passo 3
Parte (b): Determinar o módulo e a direção do campo elétrico no ponto
.
Para encontrar o campo elétrico gerado pela barra no ponto
, vamos considerar que a barra está alinhada ao longo do eixo
, de
até
. O ponto
está a uma distância
da extremidade da barra, ou seja, em
.
Vamos dividir a barra em pequenos pedaços de comprimento
, cada um com uma carga
. O campo elétrico gerado por cada
no ponto
é:
onde
é a constante eletrostática e
é a distância do elemento
até
.
A distância
para um elemento na posição
é:
Simplificando:
O campo resultante será na direção do eixo
, e vamos integrar de
até
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Quando
,
, e quando
,
.
A integral fica:
Substituindo os valores:
A direção do campo elétrico está na direção positiva do eixo
, já que todas as contribuições dos elementos de carga apontam para
nessa direção.
Resposta
(a) A densidade linear de carga da barra é aproximadamente
.
(b) O campo elétrico no ponto
tem módulo de aproximadamente
na direção positiva de
.
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.
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e
.