Uma barra não-condutora de comprimento , tem uma carga uniformemente distribuída. (a) Qual é a densidade linear de cargas da barra? (b) Determine o módulo e a direção (em relação a ) do campo elétrico produzido no ponto , situado a uma distância da extremidade da barra.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra não-condutora com carga distribuída de forma uniforme, e precisa encontrar duas coisas: primeiro, a densidade linear de carga da barra, e segundo, o campo elétrico em um ponto específico. Vamos usar conceitos de eletrostática, como densidade de carga e campo elétrico gerado por distribuições de carga.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a densidade linear de carga.
A densidade linear de carga, geralmente representada por , é a quantidade de carga por unidade de comprimento. Como a carga está distribuída de forma uniforme na barra, podemos calcular dividindo a carga total pelo comprimento da barra .
A fórmula é:
Vamos substituir os valores dados:

Passo 3

Parte (b): Determinar o módulo e a direção do campo elétrico no ponto .
Para encontrar o campo elétrico gerado pela barra no ponto , vamos considerar que a barra está alinhada ao longo do eixo , de até . O ponto está a uma distância da extremidade da barra, ou seja, em .
Vamos dividir a barra em pequenos pedaços de comprimento , cada um com uma carga . O campo elétrico gerado por cada no ponto é:
onde ²² é a constante eletrostática e é a distância do elemento até .
A distância para um elemento na posição é:
Simplificando:
O campo resultante será na direção do eixo , e vamos integrar de até :
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Quando , , e quando , .
A integral fica:
Substituindo os valores:
A direção do campo elétrico está na direção positiva do eixo , já que todas as contribuições dos elementos de carga apontam para nessa direção.

Resposta

(a) A densidade linear de carga da barra é aproximadamente .
(b) O campo elétrico no ponto tem módulo de aproximadamente na direção positiva de .

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