Uma barra não-condutora de comprimento L=8,15 cm, tem uma carga q=4,23 mu C uniformemente distribuída. (a) Qual é a densidade linear de cargas da barra? (b) Determine o módulo e a direção (em relação a x^+) do campo elétrico produzido no ponto P, situado a uma distância a=12 cm da extremidade da barra.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra não-condutora com carga distribuída de forma uniforme, e precisa encontrar duas coisas: primeiro, a densidade linear de carga da barra, e segundo, o campo elétrico em um ponto específico. Vamos usar conceitos de eletrostática, como densidade de carga e campo elétrico gerado por distribuições de carga.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a densidade linear de carga.
A densidade linear de carga, geralmente representada por lambda = qL , é a quantidade de carga por unidade de comprimento. Como a carga está distribuída de forma uniforme na barra, podemos calcular q = 4,23,mu C = 4,23 times 10^-6,C dividindo a carga total L = 8,15,cm = 0,0815,m pelo comprimento da barra lambda = 4,23 times 10^-6,C0,0815,m approx 5,19 times 10^-5,C/m .
A fórmula é:
Vamos substituir os valores dados:

Passo 3

Parte (b): Determinar o módulo e a direção do campo elétrico no ponto dE = k , dqr^2 .
Para encontrar o campo elétrico gerado pela barra no ponto r = a + (L - x) , vamos considerar que a barra está alinhada ao longo do eixo r = a + L - x = (0,12,m) + (0,0815,m) - x = 0,2015,m - x , de E = integral0^L k lambda dx(a + L - x)^2 até E = k lambda integrala + L^a -duu^2 = k lambda [ 1u ]a^a + L = k lambda ( 1a - 1a + L ) . O ponto E = 8,99 times 10^9 times 5,19 times 10^-5 ( 10,12 - 10,2015 ) está a uma distância E approx 8,99 times 10^9 times 5,19 times 10^-5 times (8,333 - 4,96) da extremidade da barra, ou seja, em E approx 8,99 times 10^9 times 5,19 times 10^-5 times 3,373 .
Vamos dividir a barra em pequenos pedaços de comprimento E approx 1,58 times 10^6,N/C , cada um com uma carga . O campo elétrico gerado por cada no ponto é:
onde ²² é a constante eletrostática e é a distância do elemento até .
A distância para um elemento na posição é:
Simplificando:
O campo resultante será na direção do eixo , e vamos integrar de até :
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Quando , , e quando , .
A integral fica:
Substituindo os valores:
A direção do campo elétrico está na direção positiva do eixo , já que todas as contribuições dos elementos de carga apontam para nessa direção.

Resposta

(a) A densidade linear de carga da barra é aproximadamente .
(b) O campo elétrico no ponto tem módulo de aproximadamente na direção positiva de .

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