Encontre o Campo E resultante na posição (0,0,3), devido a ação de quatro cargas positivas de igual módulo q, posicionadas no plano xy em: (0,4,0) ;(0,-2,0) ;(-3,0,0) e (5,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o campo elétrico resultante no ponto (0,0,3) causado por quatro cargas positivas de mesmo valor q, posicionadas no plano xy nos pontos (0,4,0), (0,-2,0), (-3,0,0) e (5,0,0). Aqui, vamos usar os conceitos de campo elétrico de cargas pontuais e o Princípio de Superposição, que nos permite somar os campos elétricos individuais para encontrar o campo total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do campo elétrico produzido por uma carga pontual. O campo elétrico E devido a uma carga q em um ponto no espaço é dado por:
E = k cdot qr^2 cdot r
onde:
  • k é a constante eletrostática ( k approx 8,99 times 10^9 , N·m²/C²²²),
  • q é a carga,
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo,
  • r é o vetor unitário na direção de r.
Vamos calcular o campo elétrico de cada uma das quatro cargas no ponto (0,0,3).

Passo 3

Vamos determinar a posição de cada carga e a distância r até o ponto (0,0,3).
  1. Carga 1 em (0,4,0):
    • Distância: r1 = raiz(0-0)^2 + (4-0)^2 + (0-3)^2 = raiz0 + 16 + 9 = raiz25 = 5
    • Vetor posição: r1 = (0,4,0) r' = (0-0, 0-4, 3-0) = (0,-4,3)
  2. Carga 2 em (0,-2,0):
    • Distância: r2 = raiz(0-0)^2 + (-2-0)^2 + (0-3)^2 = raiz0 + 4 + 9 = raiz13
    • Vetor posição: r2 = (0,-2,0) r' = (0-0, 0-(-2), 3-0) = (0,2,3)
  3. Carga 3 em (-3,0,0):
    • Distância: r3 = raiz(-3-0)^2 + (0-0)^2 + (0-3)^2 = raiz9 + 0 + 9 = raiz18 = 3raiz2
    • Vetor posição: r3 = (-3,0,0) r' = (0-(-3), 0-0, 3-0) = (3,0,3)
  4. Carga 4 em (5,0,0):
    • Distância: r4 = raiz(5-0)^2 + (0-0)^2 + (0-3)^2 = raiz25 + 0 + 9 = raiz34
    • Vetor posição: r4 = (5,0,0) r' = (0-5, 0-0, 3-0) = (-5,0,3)

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor unitário r para cada carga, que é dado por:
r = r'r
Calculando para cada carga:
  1. Carga 1:
    r1 = (0,-4,3)5 = (0, -45, 35)
  2. Carga 2:
    r2 = (0,2,3)raiz13 = (0, 2raiz13, 3raiz13)
  3. Carga 3:
    r3 = (3,0,3)3raiz2 = (1raiz2, 0, 1raiz2)
  4. Carga 4:
    r4 = (-5,0,3)raiz34 = (-5raiz34, 0, 3raiz34)

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do campo elétrico para cada carga:
Ei = k cdot qri^2 cdot ri
Calculando para cada carga:
  1. Carga 1:
    E1 = kq5^2 cdot (0, -45, 35) = kq25 cdot (0, -45, 35) = (0, -4kq125, 3kq125)
  2. Carga 2:
    E2 = kq(raiz13)^2 cdot (0, 2raiz13, 3raiz13) = kq13 cdot (0, 2raiz13, 3raiz13) = (0, 2kq13raiz13, 3kq13raiz13)
  3. Carga 3:
    E3 = kq(3raiz2)^2 cdot (1raiz2, 0, 1raiz2) = kq18 cdot (1raiz2, 0, 1raiz2) = (kq18raiz2, 0, kq18raiz2)
  4. Carga 4:
    E4 = kq(raiz34)^2 cdot (-5raiz34, 0, 3raiz34) = kq34 cdot (-5raiz34, 0, 3raiz34) = (-5kq34raiz34, 0, 3kq34raiz34)

Passo 6

Agora, somamos os campos elétricos vetoriais individuais para obter o campo elétrico resultante Etotal:
Etotal = E1 + E2 + E3 + E4
Somando componente por componente:
  • Componente x:
    Ex = 0 + 0 + kq18raiz2 - 5kq34raiz34
  • Componente y:
    Ey = -4kq125 + 2kq13raiz13 + 0 + 0
  • Componente z:
    Ez = 3kq125 + 3kq13raiz13 + kq18raiz2 + 3kq34raiz34

Passo 7

Para simplificar, podemos calcular cada componente numericamente, mas como não temos valores específicos para q, vamos deixar a expressão em termos de k e q:
Etotal = ( kq18raiz2 - 5kq34raiz34, -4kq125 + 2kq13raiz13, 3kq125 + 3kq13raiz13 + kq18raiz2 + 3kq34raiz34 )
Podemos fatorar kq para simplificar ainda mais:
Etotal = kq ( 118raiz2 - 534raiz34, -4125 + 213raiz13, 3125 + 313raiz13 + 118raiz2 + 334raiz34 )

Resposta

O campo elétrico resultante no ponto (0,0,3) é dado por:
Etotal = kq ( 118raiz2 - 534raiz34, -4125 + 213raiz13, 3125 + 313raiz13 + 118raiz2 + 334raiz34 )
Este vetor representa a soma dos campos elétricos gerados por cada uma das quatro cargas no ponto especificado.

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