Uma barra reta semi-infinita uniformemente carregada positivamente com a densidade linear de carga lambda. Uma carga pontual q>0 está fixa a uma distância L da extremidade direita dessa barra, ao longo de seu comprimento. Determine: (a) o campo elétrico gerado pela barra na posição da carga pontual e (b) a força elétrica que a barra exerce sobre a carga pontual.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra reta que se estende infinitamente em uma direção e está carregada de maneira uniforme com uma densidade linear de carga lambda. Além disso, temos uma carga pontual q > 0 posicionada a uma distância L da extremidade direita dessa barra, ao longo do seu comprimento. Nosso objetivo é:
(a) Determinar o campo elétrico gerado pela barra na posição da carga pontual.
(b) Calcular a força elétrica que a barra exerce sobre essa carga pontual.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de campo elétrico devido a uma distribuição de carga contínua e da lei de Coulomb para força elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga. Para uma distribuição de carga linear, o campo elétrico em um ponto é dado pela integração do campo elétrico gerado por cada elemento infinitesimal de carga ao longo da barra.

Passo 3

Vamos estabelecer um sistema de coordenadas. Suponha que a extremidade direita da barra esteja na origem ( x = 0) e a barra se estenda ao longo do eixo negativo ( x <= 0). A carga pontual q está localizada no ponto P em x = L, ao longo do eixo positivo.

Passo 4

Considere um elemento infinitesimal de carga dq localizado a uma posição x na barra. A distância desse elemento até a carga q é r = L + |x| (já que x é negativo). A contribuição do campo elétrico desse elemento no ponto P será:
dE = ke , dqr^2
Onde ke é a constante eletrostática.

Passo 5

Como a carga está distribuída linearmente, temos dq = lambda , dx. Substituindo na expressão do campo:
dE = ke , lambda , dx(L + |x|)^2

Passo 6

Devido à simetria da situação, o campo elétrico terá apenas componentes na direção do eixo x. Portanto, podemos integrar ao longo da barra para encontrar o campo total E em P.

Passo 7

A barra é semi-infinita, indo de x = 0 até x = -infty. Portanto, os limites da integração serão de x = -infty a x = 0. Porém, para simplificar, faremos uma substituição de variável. Deixe u = L - x, então quando x = -infty, u = infty, e quando x = 0, u = L.

Passo 8

A integral para o campo elétrico fica:
E = integral-infty^0 ke , lambda , dx(L - x)^2
Substituindo u = L - x, então dx = -du:
E = integralL^infty ke , lambda , (-du)u^2 = ke , lambda integralL^infty duu^2

Passo 9

Resolvendo a integral:
E = ke , lambda [ -1u ]L^infty = ke , lambda ( 0 - (-1L) ) = ke , lambdaL

Passo 10

Agora que temos o campo elétrico E na posição da carga pontual, podemos calcular a força elétrica F que a barra exerce sobre a carga q. Pela Lei de Coulomb:
F = q , E = q ( ke , lambdaL ) = ke , lambda , qL

Resposta

(a) O campo elétrico na posição da carga pontual é E = dfracke , lambdaL.
(b) A força elétrica que a barra exerce sobre a carga pontual é F = dfracke , lambda , qL.

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