Uma barra reta semi-infinita uniformemente carregada positivamente com a densidade linear de carga
. Uma carga pontual
está fixa a uma distância
da extremidade direita dessa barra, ao longo de seu comprimento. Determine: (a) o campo elétrico gerado pela barra na posição da carga pontual e (b) a força elétrica que a barra exerce sobre a carga pontual.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra reta que se estende infinitamente em uma direção e está carregada de maneira uniforme com uma densidade linear de carga
. Além disso, temos uma carga pontual
posicionada a uma distância
da extremidade direita dessa barra, ao longo do seu comprimento. Nosso objetivo é:
(a) Determinar o campo elétrico gerado pela barra na posição da carga pontual.
(b) Calcular a força elétrica que a barra exerce sobre essa carga pontual.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de campo elétrico devido a uma distribuição de carga contínua e da lei de Coulomb para força elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga. Para uma distribuição de carga linear, o campo elétrico em um ponto é dado pela integração do campo elétrico gerado por cada elemento infinitesimal de carga ao longo da barra.
Passo 3
Vamos estabelecer um sistema de coordenadas. Suponha que a extremidade direita da barra esteja na origem (
) e a barra se estenda ao longo do eixo negativo (
). A carga pontual
está localizada no ponto
em
, ao longo do eixo positivo.
Passo 4
Considere um elemento infinitesimal de carga
localizado a uma posição
na barra. A distância desse elemento até a carga
é
(já que
é negativo). A contribuição do campo elétrico desse elemento no ponto
será:
Onde
é a constante eletrostática.
Passo 5
Como a carga está distribuída linearmente, temos
. Substituindo na expressão do campo:
Passo 6
Devido à simetria da situação, o campo elétrico terá apenas componentes na direção do eixo
. Portanto, podemos integrar ao longo da barra para encontrar o campo total
em
.
Passo 7
A barra é semi-infinita, indo de
até
. Portanto, os limites da integração serão de
a
. Porém, para simplificar, faremos uma substituição de variável. Deixe
, então quando
,
, e quando
,
.
Passo 8
A integral para o campo elétrico fica:
Substituindo
, então
:
Passo 9
Resolvendo a integral:
Passo 10
Agora que temos o campo elétrico
na posição da carga pontual, podemos calcular a força elétrica
que a barra exerce sobre a carga
. Pela Lei de Coulomb:
Resposta
(a) O campo elétrico na posição da carga pontual é
.
(b) A força elétrica que a barra exerce sobre a carga pontual é
.
Exercícios relacionados
Um segmento de reta uniformemente carregada com a densidade linear de carga
está sobre o eixo dos
, de
até
. (a) Mostrar que a componente
do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos
é dada por
(b) Mostrar que, se o segmento de reta estiver entre
e
, a componente
do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos
é dada por
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, onde
e c =
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a
.
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para
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para
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de