Uma barra reta semi-infinita uniformemente carregada positivamente com a densidade linear de carga . Uma carga pontual está fixa a uma distância da extremidade direita dessa barra, ao longo de seu comprimento. Determine: (a) o campo elétrico gerado pela barra na posição da carga pontual e (b) a força elétrica que a barra exerce sobre a carga pontual.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra reta que se estende infinitamente em uma direção e está carregada de maneira uniforme com uma densidade linear de carga . Além disso, temos uma carga pontual posicionada a uma distância da extremidade direita dessa barra, ao longo do seu comprimento. Nosso objetivo é:
(a) Determinar o campo elétrico gerado pela barra na posição da carga pontual.
(b) Calcular a força elétrica que a barra exerce sobre essa carga pontual.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de campo elétrico devido a uma distribuição de carga contínua e da lei de Coulomb para força elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga. Para uma distribuição de carga linear, o campo elétrico em um ponto é dado pela integração do campo elétrico gerado por cada elemento infinitesimal de carga ao longo da barra.

Passo 3

Vamos estabelecer um sistema de coordenadas. Suponha que a extremidade direita da barra esteja na origem ( ) e a barra se estenda ao longo do eixo negativo ( ). A carga pontual está localizada no ponto em , ao longo do eixo positivo.

Passo 4

Considere um elemento infinitesimal de carga localizado a uma posição na barra. A distância desse elemento até a carga é (já que é negativo). A contribuição do campo elétrico desse elemento no ponto será:
Onde é a constante eletrostática.

Passo 5

Como a carga está distribuída linearmente, temos . Substituindo na expressão do campo:

Passo 6

Devido à simetria da situação, o campo elétrico terá apenas componentes na direção do eixo . Portanto, podemos integrar ao longo da barra para encontrar o campo total em .

Passo 7

A barra é semi-infinita, indo de até . Portanto, os limites da integração serão de a . Porém, para simplificar, faremos uma substituição de variável. Deixe , então quando , , e quando , .

Passo 8

A integral para o campo elétrico fica:
Substituindo , então :

Passo 9

Resolvendo a integral:

Passo 10

Agora que temos o campo elétrico na posição da carga pontual, podemos calcular a força elétrica que a barra exerce sobre a carga . Pela Lei de Coulomb:

Resposta

(a) O campo elétrico na posição da carga pontual é .
(b) A força elétrica que a barra exerce sobre a carga pontual é .

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