A equação horária de uma partícula é dada por x(t)=a t^4+b t^2+c, onde a=0,30 m / s^4, b=-1,0 m / s^2 e c = -300 m. Calcule a velocidade média e a aceleração média no intervalo de t=0,0 s a t=5,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre uma partícula cujo movimento é descrito pela equação horária . Os valores de , e são dados:
Queremos calcular a velocidade média e a aceleração média dessa partícula no intervalo de tempo de a . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, já que elas nos ajudam a encontrar velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade média. A velocidade média ( vm = x(t2) - x(t1)t2 - t1 ) é dada pela diferença das posições dividida pelo intervalo de tempo. A fórmula é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular x(0) = a times 0^4 + b times 0^2 + c = 0 + 0 + (-300) = -300 , m para x(5) = a times 5^4 + b times 5^2 + c = 0,30 times 625 + (-1,0) times 25 + (-300) = 187,5 - 25 - 300 = -137,5 , m e .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, aplicando os valores na fórmula da velocidade média:
vm = -137,5 - (-300)5,0 - 0,0 = 162,55,0 = 32,5 , m/s
Então, a velocidade média é .

Passo 5

Agora vamos para a aceleração média. A aceleração média ( v(t) = dxdt = 4a t^3 + 2b t ) pode ser calculada pela diferença das velocidades dividida pelo intervalo de tempo. Para isso, primeiro precisamos encontrar as velocidades nos instantes e .
A velocidade ( ) é a derivada da posição em relação ao tempo:

Passo 6

Vamos calcular v(0) = 4 times 0,30 times 0^3 + 2 times (-1,0) times 0 = 0 + 0 = 0 , m/s para v(5) = 4 times 0,30 times 5^3 + 2 times (-1,0) times 5 = 4 times 0,30 times 125 + (-2) times 5 = 150 + (-10) = 140 , m/s e .
Para :
Para :

Passo 7

Agora, aplicando os valores na fórmula da aceleração média:
am = v(5) - v(0)5,0 - 0,0 = 140 - 05,0 = 28 , m/s^2
Então, a aceleração média é .

Resposta

A velocidade média no intervalo de a é 32,5 m/s e a aceleração média é 28 m/s².

Exercícios relacionados