Um segmento de reta uniformemente carregada com a densidade linear de carga está sobre o eixo dos , de até . (a) Mostrar que a componente do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos é dada por
(b) Mostrar que, se o segmento de reta estiver entre e , a componente do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos é dada por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um segmento de reta carregado uniformemente, com densidade linear de carga , colocado no eixo de até . Precisamos encontrar a componente do campo elétrico em um ponto sobre o eixo . Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula do campo elétrico gerado por uma carga contínua. Vamos precisar integrar para somar as contribuições de cada pedacinho do segmento carregado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico criado por uma pequena parte de carga numa posição no ponto é dado por:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é a distância entre e o ponto ,
  • é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

A densidade linear de carga é , então uma pequena parte do segmento de reta com comprimento tem carga:

Passo 4

A distância entre em e o ponto é dada por:

Passo 5

O vetor unitário pode ser decomposto em suas componentes e :
Como queremos apenas a componente do campo elétrico, vamos focar na parte de .

Passo 6

Assim, a componente do campo elétrico devido a é:

Passo 7

Agora, para encontrar o campo elétrico total , vamos integrar de até :

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , então , ou seja, :
Integrando:
Voltando para :
Simplificando:

Resposta

Finalmente, a componente do campo elétrico no ponto sobre o eixo é:

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