Um segmento de reta uniformemente carregada com a densidade linear de carga lambda está sobre o eixo dos x, de x=0 até x=a. (a) Mostrar que a componente x do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos y é dada por
Ex=-k lambday+k lambdaraizy^2+a^2
(b) Mostrar que, se o segmento de reta estiver entre x=-b e x=a, a componente x do campo elétrico num ponto sobre o eixo dos y é dada por
Ex=k lambdaraizy^2+a^2-k lambdaraizy^2+b^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um segmento de reta carregado uniformemente, com densidade linear de carga , colocado no eixo de até . Precisamos encontrar a componente do campo elétrico em um ponto sobre o eixo . Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula do campo elétrico gerado por uma carga contínua. Vamos precisar integrar para somar as contribuições de cada pedacinho do segmento carregado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico dE = k dqr^2 r criado por uma pequena parte de carga numa posição no ponto é dado por:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é a distância entre e o ponto ,
  • é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

A densidade linear de carga é dq = lambda , dx , então uma pequena parte do segmento de reta com comprimento tem carga:

Passo 4

A distância r = raizx^2 + y^2 entre em e o ponto é dada por:

Passo 5

O vetor unitário r = xraizx^2 + y^2 x + yraizx^2 + y^2 y pode ser decomposto em suas componentes e :
Como queremos apenas a componente do campo elétrico, vamos focar na parte de .

Passo 6

Assim, a componente dEx = k dqr^2 cdot xraizx^2 + y^2 = k lambda , dx(x^2 + y^2) cdot xraizx^2 + y^2 = k lambda x , dx(x^2 + y^2)^3/2 do campo elétrico devido a é:

Passo 7

Agora, para encontrar o campo elétrico total Ex = integral0^a k lambda x , dx(x^2 + y^2)^3/2 , vamos integrar de até :

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Ex = k lambda integral0^a x , dx(x^2 + y^2)^3/2
Fazendo a substituição Ex = k lambda integral 12 duu^3/2 = k lambda2 integral u^-3/2 , du , então k lambda2 ( -2 u^-1/2 ) + C = -k lambda u^-1/2 + C , ou seja, Ex = -k lambda 1raizx^2 + y^2 g|0^a = -k lambda ( 1raiza^2 + y^2 - 1raiz0 + y^2 ) :
Ex = -k lambda ( 1raiza^2 + y^2 - 1y ) = -k lambda 1raiza^2 + y^2 + k lambday
Integrando:
Voltando para :
Simplificando:

Resposta

Finalmente, a componente Ex = -k lambday + k lambdaraizy^2 + a^2 do campo elétrico no ponto sobre o eixo é:

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