Uma barra sólida circular com 50 mm de diâmetro tem um entalhe com diâmetro de 45 mm e com raio de 2,5 mm. A barra não rotaciona. A barra é carregada com uma carga repetida de flexão que causa a flutuação do momento de flexão no entalhe entre 0 e 2825 Nm . À barra é de AISI 1095 laminada a quente, mas o entalhe foi usinado. Determine o fator de segurança para a fadiga baseado em vida infinita, e usando o critério de Goodman modificado e o fator de segurança ao escoamento.
Considere: ka=0,76 ; kb=0,92 ; Kt=2,1 ; Su t=830 MPa.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma barra circular sólida com diâmetro de 50 mm que possui um entalhe. Esse entalhe tem diâmetro de 45 mm e raio de 2,5 mm. A barra está sujeita a uma carga de flexão repetida que faz com que o momento de flexão varie entre 0 e 2825 Nm no entalhe. Nosso objetivo é determinar o fator de segurança para a fadiga, considerando uma vida infinita, utilizando o critério de Goodman modificado, além do fator de segurança ao escoamento. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de resistência dos materiais, especialmente relacionados à fadiga e fatores de concentração de tensões.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento fletor alternado ( Ma) e o momento fletor médio ( Mm). Dado que o momento de flexão varia de 0 a 2825 Nm, podemos determinar:
Ma = Mmáx - Mmín2 = 2825, Nm - 02 = 1412,5, Nm áí
Mm = Mmáx + Mmín2 = 2825, Nm + 02 = 1412,5, Nm áí

Passo 3

Em seguida, vamos calcular o diâmetro efetivo no local do entalhe. O entalhe reduz o diâmetro da barra de 50 mm para 45 mm. Portanto, o diâmetro efetivo ( defetivo) é 45 mm.
defetivo = 45, mm

Passo 4

Agora, calculamos a seção resistente da barra. A área da seção transversal de uma barra circular é dada por:
A = pi d^24
Substituindo defetivo = 45, mm:
A = pi (45)^24 approx 1590,43, mm^2

Passo 5

Vamos determinar o momento de inércia ( I) da seção transversal:
I = pi d^464
Substituindo d = 45, mm:
I = pi (45)^464 approx pi times 4100625 64 approx 201061,93, mm^4

Passo 6

Com o momento fletor e o momento de inércia, podemos calcular a tensão de flexão ( sigma) usando a fórmula:
sigma = M cdot cI
Onde:
  • M é o momento fletor
  • c é a distância do centroide à fibra mais afastada (para uma seção circular, c = d2)
Substituindo os valores para o momento fletor alternado Ma:
c = 452 = 22,5, mm
sigmaa = 1412,5 times 10^3, Nmm times 22,5, mm201061,93, mm^4 approx 158, MPa

Passo 7

Considerando os fatores fornecidos no enunciado ( ka=0,76, kb=0,92, Kt=2,1), ajustamos a tensão alternada para levar em conta os efeitos de concentração de tensão e outros fatores:
sigma'a = Kt cdot ka cdot kb cdot sigmaa
sigma'a = 2,1 times 0,76 times 0,92 times 158 approx 233, MPa

Passo 8

Para aplicar o critério de Goodman modificado, precisamos conhecer a tensão de escoamento ( sigmae). Sabemos que:
sigmau< = 830, MPa
Assumindo que a tensão de escoamento ( sigmae) é aproximadamente igual à tensão última dividida por um fator de segurança (para aço comum, sigmae approx 0,5 sigmau<):
sigmae = 0,5 times 830 = 415, MPa

Passo 9

Agora, aplicamos o critério de Goodman modificado para calcular o fator de segurança ( n):
sigma'asigmae + sigmamsigmau< = 1n
Onde:
  • sigma'a é a tensão alternada ajustada
  • sigmam é a tensão média
Substituindo os valores:
233415 + 1412,5 times 10^3830 times 10^3 = 1n
0,561 + 1,7 = 1n
2,261 = 1n
n = 12,261 approx 0,442

Passo 10

O fator de segurança calculado é menor que 1, o que indica que, sob as condições consideradas, a barra não possui segurança suficiente contra fadiga. Portanto, seria necessário revisar o projeto, seja aumentando o diâmetro da barra, reduzindo a carga ou melhorando o tratamento do material para aumentar a resistência à fadiga.

Resposta

O fator de segurança para a fadiga, utilizando o critério de Goodman modificado, é aproximadamente 0,44.

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