Uma peça cilíndrica de diâmetro d é carregada por uma força axial P. Isso causa uma tensão P/A, onde A=pi d^2 / 4. Se carga é conhecida com uma incerteza de pm 10 %, o diâmetro é conhecido com pm 5 % (tolerâncias) e a tensão que causa a falha (resistência) é conhecida com pm 15 %, determine o fator de projeto mínimo que garante que a peça não vai falhar.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma peça cilíndrica com diâmetro sigma = PA que está sendo submetida a uma força axial A = pi d^24 . Isso gera uma tensão ( ) na peça, calculada pela fórmula:
onde é a área da seção transversal do cilindro, dada por:
Nosso objetivo é encontrar o fator de projeto mínimo que assegura que a peça não irá falhar, considerando as incertezas nas medidas de , e na resistência da tensão ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada incerteza significa:
  • A força tem uma incerteza de , o que significa que o valor mínimo de pode ser .
  • O diâmetro tem uma incerteza de , então o valor máximo de pode ser .
  • A resistência à tensão tem uma incerteza de , então o valor mínimo de é .
Essas incertezas são importantes para garantir que, mesmo nas piores condições, a peça n��o falhe.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área mínima Amin = pi (dmax)^24 = pi (1.05d)^24 = 1.1025 cdot pi d^24 = 1.1025A usando o diâmetro máximo :
Isso significa que, devido à incerteza no diâmetro, a área pode aumentar em até .

Passo 4

Em seguida, vamos considerar a incerteza na força Pmin = 0.9P . A força mínima sigmamax = PminAmin = 0.9P1.1025A approx 0.8163PA que a peça pode sofrer é:
Combinando isso com a área mínima, a tensão máxima aplicada será:

Passo 5

Agora, consideramos a resistência mínima à tensão sigmaresmin = 0.85sigmares :
sigmamax <= sigmaresmin
Para garantir que a peça não falhe, a tensão máxima aplicada deve ser menor ou igual à resistência mínima:
0.8163PA <= 0.85sigmares
Substituindo os valores:

Passo 6

Isolando o fator de projeto n = sigmaressigma , que é a relação entre a resistência e a tensão aplicada:
nmín = 0.85sigmares0.8163sigma = 0.85sigmares0.8163 cdot PA = 0.85sigmaresA0.8163P
Substituindo as incertezas:
nmín approx 0.850.8163 approx 1.041 í
Simplificando:
í

Resposta

O fator de projeto mínimo que garante que a peça não falhe é aproximadamente 1,04.

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