Uma barra uniforme CD de massa
está soldada no ponto médio de um eixo horizontal muito leve. Nas extremidades desse eixo estāo soldados dois discos idênticos (A e B), como mostrado na figura.
Considerando que os discos rolam sem deslizar sobre a superficie horizontal e cada um tem massa
:
Calcule o momento de inércia do sistema em relaçâo ao ponto
.
Considerando que os discos rolam sem deslizar sobre a superficie horizontal e cada um tem massa
Calcule o momento de inércia do sistema em relaçâo ao ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra uniforme CD com massa de $ m_1 = 15,kg $ soldada no ponto médio $ C $ de um eixo horizontal super leve. Nas extremidades desse eixo, estão dois discos iguais, A e B, cada um com massa $ m_2 = 5,kg $. Os discos rolam sem deslizar na superfície. Nosso objetivo aqui é calcular o momento de inércia de todo esse sistema em relação ao ponto $ C $. Para isso, vamos precisar entender como calcular o momento de inércia de diferentes objetos e como somá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia da barra CD em relação ao ponto $ C $. Como a barra é uniforme e o ponto $ C $ é o seu centro, o momento de inércia da barra em relação ao seu centro é dado por:
Aqui, $ L $ é o comprimento total da barra. No entanto, como não temos o valor de $ L $, vamos considerar que o eixo é muito leve e que o momento de inércia principal vem dos discos. Assim, podemos simplificar considerando apenas os discos para este exercício.
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia de cada disco em relação ao ponto $ C $. Para isso, usamos o Teorema do Eixo Paralelo, que diz que:
Onde:
- $ I_{cm} $ é o momento de inércia do objeto em relação ao seu centro de massa.
- $ m $ é a massa do objeto.
- $ d $ é a distância entre o centro de massa do objeto e o ponto $ C $.
Para um disco, o momento de inércia em relação ao seu centro de massa é:
Aqui, $ r $ é o raio do disco. Porém, como não temos o valor de $ r $ e a distância $ d $ também não foi fornecida, vamos assumir que $ d = \frac{L}{2} $, já que os discos estão nas extremidades da barra. Mas como não precisamos de $ L $ ou $ r $ para a resposta final, podemos simplificar a expressão do momento de inércia para cada disco como:
Passo 4
Como temos dois discos iguais, o momento de inércia total dos discos será o dobro do momento de inércia de um único disco:
Somando o momento de inércia da barra e dos discos, teremos o momento de inércia total do sistema em relação ao ponto $ C $:
Como não temos os valores de $ L $ e $ r $, a resposta final ficará em termos dessas variáveis.
Resposta
O momento de inércia total do sistema em relação ao ponto $ C $ é:
Substituindo os valores dados:
Simplificando:
Portanto, o momento de inércia total do sistema em relação ao ponto $ C $ é: