Uma barra uniforme CD de massa m1=15 kg está soldada no ponto médio de um eixo horizontal muito leve. Nas extremidades desse eixo estāo soldados dois discos idênticos (A e B), como mostrado na figura.
Considerando que os discos rolam sem deslizar sobre a superficie horizontal e cada um tem massa m2=5,0 kg:
Calcule o momento de inércia do sistema em relaçâo ao ponto C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra uniforme CD com massa de $ m_1 = 15,kg $ soldada no ponto médio $ C $ de um eixo horizontal super leve. Nas extremidades desse eixo, estão dois discos iguais, A e B, cada um com massa $ m_2 = 5,kg $. Os discos rolam sem deslizar na superfície. Nosso objetivo aqui é calcular o momento de inércia de todo esse sistema em relação ao ponto $ C $. Para isso, vamos precisar entender como calcular o momento de inércia de diferentes objetos e como somá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia da barra CD em relação ao ponto $ C $. Como a barra é uniforme e o ponto $ C $ é o seu centro, o momento de inércia da barra em relação ao seu centro é dado por:
C
Aqui, $ L $ é o comprimento total da barra. No entanto, como não temos o valor de $ L $, vamos considerar que o eixo é muito leve e que o momento de inércia principal vem dos discos. Assim, podemos simplificar considerando apenas os discos para este exercício.

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia de cada disco em relação ao ponto $ C $. Para isso, usamos o Teorema do Eixo Paralelo, que diz que:
C
Onde:
  • $ I_{cm} $ é o momento de inércia do objeto em relação ao seu centro de massa.
  • $ m $ é a massa do objeto.
  • $ d $ é a distância entre o centro de massa do objeto e o ponto $ C $.
Para um disco, o momento de inércia em relação ao seu centro de massa é:
I = Icm + m d^2
Aqui, $ r $ é o raio do disco. Porém, como não temos o valor de $ r $ e a distância $ d $ também não foi fornecida, vamos assumir que $ d = \frac{L}{2} $, já que os discos estão nas extremidades da barra. Mas como não precisamos de $ L $ ou $ r $ para a resposta final, podemos simplificar a expressão do momento de inércia para cada disco como:
Icm

Passo 4

Como temos dois discos iguais, o momento de inércia total dos discos será o dobro do momento de inércia de um único disco:
Itotaldiscos = 2 ( 12 m2 r^2 + m2 (L2)^2 ) = m2 r^2 + 2 m2 (L2)^2
Somando o momento de inércia da barra e dos discos, teremos o momento de inércia total do sistema em relação ao ponto $ C $:
C
Como não temos os valores de $ L $ e $ r $, a resposta final ficará em termos dessas variáveis.

Resposta

O momento de inércia total do sistema em relação ao ponto $ C $ é:
C
Substituindo os valores dados:
Itotal = 112 m1 L^2 + m2 r^2 + 2 m2 (L2)^2
Simplificando:
Itotal = 112 times 15,kg times L^2 + 5,kg times r^2 + 2 times 5,kg times (L2)^2
Portanto, o momento de inércia total do sistema em relação ao ponto $ C $ é:
Itotal = 1512 L^2 + 5 r^2 + 104 L^2 = 54 L^2 + 5 r^2 + 52 L^2 = 154 L^2 + 5 r^2

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