Uma barra uniforme CD de massa
está soldada no ponto médio de um eixo horizontal muito leve. Nas extremidades desse eixo estāo soldados dois discos idênticos (A e B), como mostrado na figura.
Considerando que os discos rolam sem deslizar sobre a superficie horizontal e cada um tem massa
:
Escreva a equação do oscilador harmônico desse sistema e calcule o periodo de oscilaçāo para pequenas oscilaçőes.
Considerando que os discos rolam sem deslizar sobre a superficie horizontal e cada um tem massa
Escreva a equação do oscilador harmônico desse sistema e calcule o periodo de oscilaçāo para pequenas oscilaçőes.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Então, temos uma barra uniforme CD com massa $ m_1 = 15,kg $ fixada no meio de um eixo horizontal muito leve. Nas extremidades desse eixo, estão presos dois discos idênticos, A e B, cada um com massa $ m_2 = 5,0,kg $. Esses discos rolam sem deslizar sobre uma superfície horizontal. Nosso objetivo é escrever a equação do oscilador harmônico desse sistema e calcular o período de oscilação para pequenas oscilações.
Conteúdo da Matéria: Esse problema envolve conceitos de dinâmica rotacional, momento de inércia, e movimento harmônico simples (MHS).
O que precisamos para resolver:
- Entender como calcular o momento de inércia de sistemas combinados.
- Aplicar a condição de rolar sem deslizar.
- Estabelecer a equação do movimento para um oscilador harmônico.
- Calcular o período de oscilação a partir da equação obtida.
Passo 2
Análise do Sistema e Momento de Inércia
Primeiro, vamos analisar o sistema. Temos uma barra de massa $ m_1 $ e dois discos de massa $ m_2 $ cada, presos nas extremidades. Para entender como o sistema oscila, precisamos calcular o momento de inércia total $ I $ em relação ao ponto de rotação (o centro da barra).
Momento de Inércia da Barra:
A barra é uniforme e girando em torno do seu centro. O momento de inércia de uma barra de massa $ m $ e comprimento $ L $ sobre seu centro é dado por:
A barra é uniforme e girando em torno do seu centro. O momento de inércia de uma barra de massa $ m $ e comprimento $ L $ sobre seu centro é dado por:
Como o eixo é muito leve, podemos considerar $ I_{barra} = 0 $ para simplificação, mas vamos manter a fórmula completa caso precise.
Momento de Inércia dos Discos:
Cada disco tem momento de inércia em relação ao seu próprio centro:
Cada disco tem momento de inércia em relação ao seu próprio centro:
Mas, como os discos estão a uma distância $ L/2 $ do ponto de rotação, precisamos usar o Teorema de Steiner:
onde $ d = L/2 $.
Então, o momento de inércia total dos dois discos será:
Passo 3
Condição de Rolar sem Deslizar
Como os discos rolam sem deslizar, há uma relação entre a aceleração angular $ \alpha $ e a aceleração linear $ a $ do sistema:
Para pequenas oscilações, essa condição nos ajuda a relacionar as forças envolvidas no movimento.
Força Restauradora: Quando o sistema é deslocado, a força gravitacional tenta trazê-lo de volta à posição de equilíbrio, funcionando como a força restauradora no oscilador harmônico.
Passo 4
Estabelecendo a Equação do Movimento
Aplicamos a segunda lei de Newton para rotação:
A torque $ \tau $ é devido à força restauradora causada pela inclinação do sistema. Supondo pequenas oscilações, podemos linearizar a força restauradora em relação ao ângulo de deslocamento $ \theta $.
Então, a equação do movimento fica na forma do movimento harmônico simples:
onde $ k $ é a constante da mola equivalente do sistema.
Passo 5
Calculando a Constante do Sistema $ k $
A constante $ k $ está relacionada à força restauradora e pode ser expressa em termos das propriedades do sistema, como a massa dos discos e a aceleração gravitacional $ g $:
Aqui, $ m_{efetiva} $ leva em conta a distribuição de massa e o momento de inércia.
Passo 6
Determinação do Periodo de Oscilação
Para um movimento harmônico simples, o período $ T $ é dado por:
Substituindo $ I $ e $ k $ pelas expressões que encontramos anteriormente, podemos calcular o período.
Resposta
Após realizar os cálculos, o período de oscilação para pequenas oscilações é aproximadamente:
Substituindo os valores específicos das massas e do comprimento, obtemos:
(Nota: Para obter o valor numérico exato, seria necessário conhecer o comprimento $ L $ da barra e o raio $ r $ dos discos, que não foram fornecidos no enunciado.)