Considerando uma massa de 0,040 kg, a posição em metros e o tempo em segundos, e dado que um corpo oscila com movimento harmônico simples descrito pela seguinte equação:
x(t)=0,3 sen(4 t)+0,4 cos (4 t)
determine:
A aceleração máxima.

Passo 1

Resumo do problema: Temos uma massa de 0,040 , kg que está oscilando com um movimento harmônico simples descrito pela equação:
x(t) = 0,3 sin(4t) + 0,4 cos(4t)
Queremos determinar qual é a aceleração máxima desse corpo. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos sobre movimento harmônico simples e cálculo de derivadas.

Passo 2

Entendendo o movimento harmônico simples (MHS): No MHS, a posição de um objeto em função do tempo pode ser descrita por funções senoidais e cossenoidais. A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
a(t) = d^2xdt^2

Passo 3

Calculando a primeira derivada (velocidade): Vamos primeiro encontrar a velocidade derivando x(t) uma vez.
x(t) = 0,3 sin(4t) + 0,4 cos(4t)
v(t) = dxdt = 0,3 cdot 4 cos(4t) - 0,4 cdot 4 sin(4t) = 1,2 cos(4t) - 1,6 sin(4t)

Passo 4

Calculando a segunda derivada (aceleração): Agora, derivamos v(t) para encontrar a(t).
a(t) = dvdt = -1,2 cdot 4 sin(4t) - 1,6 cdot 4 cos(4t) = -4,8 sin(4t) - 6,4 cos(4t)

Passo 5

Encontrando a aceleração máxima: A aceleração máxima ocorre quando a combinação das funções seno e cosseno atinge seu valor máximo absoluto. Podemos calcular isso usando o teorema de Pitágoras para amplitudes:
amáx = raiz(4,8)^2 + (6,4)^2 = raiz23,04 + 40,96 = raiz64 = 8 , m/s^2 á

Resposta

A aceleração máxima do corpo é de 8 , m/s^2.

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