Um bloco desliza rampa abaixo desde o ponto mais alto da rampa. A rampa tem altura
e o bloco parte do repouso, de seu ponto mais alto. Após chegar à base da rampa, o bloco percorrerá um trilho de formato circular. O raio do círculo é R. Todo o trajeto feito pelo bloco é sem atrito. O maior valor do raio R do trilho circular para que o bloco consiga desenvolver uma volta completa ao longo dele deverá ser de:
Passo 1
Vamos entender a questão! Temos um bloco que desce uma rampa de altura
, começando do repouso. Ao chegar à base, ele entra em um trilho circular com raio
. Queremos descobrir qual é o maior valor de
para que o bloco consiga dar uma volta completa no trilho. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de energia e as condições para movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade do bloco na base da rampa. Como não há atrito, a energia potencial gravitacional do bloco no alto da rampa se transforma totalmente em energia cinética na base.
A energia potencial gravitacional é dada por:
E a energia cinética é:
Pelo princípio da conservação de energia,
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento circular no trilho. Para que o bloco consiga dar uma volta completa, ele precisa ter uma velocidade mínima no ponto mais alto do círculo para que a força centrípeta seja suficiente para mantê-lo na trajetória circular.
No ponto mais alto, a única força que mantém o bloco na trajetória é a força gravitacional, e ela deve ser igual ou maior que a necessária para a força centrípeta:
Aqui,
é a velocidade no ponto mais alto.
Passo 4
Vamos descobrir qual velocidade o bloco tem no ponto mais alto. Usando novamente a conservação de energia, a energia cinética na base da rampa se divide entre a energia cinética e a energia potencial no ponto mais alto do trilho.
A altura no ponto mais alto do círculo é
, então a energia potencial é:
A energia cinética restante é:
Portanto:
Dividindo por
:
Isolando
:
Passo 5
Voltando à condição para a força centrípeta no ponto mais alto:
Substituindo
:
Cancelando
e simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Somando
em ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
O maior valor do raio
para que o bloco consiga desenvolver uma volta completa no trilho circular é: