Um bloco desliza rampa abaixo desde o ponto mais alto da rampa. A rampa tem altura h e o bloco parte do repouso, de seu ponto mais alto. Após chegar à base da rampa, o bloco percorrerá um trilho de formato circular. O raio do círculo é R. Todo o trajeto feito pelo bloco é sem atrito. O maior valor do raio R do trilho circular para que o bloco consiga desenvolver uma volta completa ao longo dele deverá ser de:

Passo 1

Vamos entender a questão! Temos um bloco que desce uma rampa de altura h, começando do repouso. Ao chegar à base, ele entra em um trilho circular com raio R. Queremos descobrir qual é o maior valor de R para que o bloco consiga dar uma volta completa no trilho. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de energia e as condições para movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do bloco na base da rampa. Como não há atrito, a energia potencial gravitacional do bloco no alto da rampa se transforma totalmente em energia cinética na base.
A energia potencial gravitacional é dada por:
U = mgh
E a energia cinética é:
K = 12mv^2
Pelo princípio da conservação de energia, U = K:
mgh = 12mv^2
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m:
gh = 12v^2
Isolando v:
v = raiz2gh

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento circular no trilho. Para que o bloco consiga dar uma volta completa, ele precisa ter uma velocidade mínima no ponto mais alto do círculo para que a força centrípeta seja suficiente para mantê-lo na trajetória circular.
No ponto mais alto, a única força que mantém o bloco na trajetória é a força gravitacional, e ela deve ser igual ou maior que a necessária para a força centrípeta:
mg >= mv^2R
Aqui, v é a velocidade no ponto mais alto.

Passo 4

Vamos descobrir qual velocidade o bloco tem no ponto mais alto. Usando novamente a conservação de energia, a energia cinética na base da rampa se divide entre a energia cinética e a energia potencial no ponto mais alto do trilho.
A altura no ponto mais alto do círculo é 2R, então a energia potencial é:
U' = mg(2R)
A energia cinética restante é:
K' = 12mv'^2
Portanto:
mgh = mg(2R) + 12mv'^2
Dividindo por m:
gh = g(2R) + 12v'^2
Isolando v':
v' = raiz2gh - 4gR

Passo 5

Voltando à condição para a força centrípeta no ponto mais alto:
mg >= mv'^2R
Substituindo v':
mg >= m(2gh - 4gR)R
Cancelando m e simplificando:
g >= 2gh - 4gRR
Multiplicando ambos os lados por R:
gR >= 2gh - 4gR
Somando 4gR em ambos os lados:
5gR >= 2gh
Dividindo ambos os lados por g:
5R >= 2h
Finalmente, isolando R:
R >= 2h5

Resposta

O maior valor do raio R para que o bloco consiga desenvolver uma volta completa no trilho circular é:
R = 2h5

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