Uma barra uniforme de comprimento L e massa M é presa em uma extremidade de um pivô sem atrito e está livre para girar num eixo que passa pelo centro no plano vertical. A barra é liberada do repouso na posição horizontal. Quais são as acelerações angular inicial da barra e translacional inicial de sua extremidade direita?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra uniforme com comprimento $ L $ e massa $ M $, presa numa extremidade num pivô sem atrito. Ela pode girar livremente num eixo que passa pelo centro, no plano vertical. A barra começa a partir do repouso na posição horizontal. Nosso objetivo aqui é encontrar duas coisas: a aceleração angular inicial da barra e a aceleração translacional inicial da sua extremidade direita.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, como torque, momento de inércia e aceleração angular. Além disso, vamos relacionar a aceleração angular com a aceleração linear da extremidade da barra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando a barra é liberada. Como ela está pivotada no centro e começa na horizontal, a força da gravidade vai gerar um torque que vai fazer a barra começar a girar.
O torque ($ \tau $) é a força que causa a rotação e é calculado por:
onde $ r $ é a distância até o ponto de rotação e $ F $ é a força aplicada.
No nosso caso, a força que está agindo é o peso da barra, que age no centro de massa. Como a barra é uniforme, o centro de massa está exatamente no meio, a uma distância $ \frac{L}{2} $ do pivô.
Passo 3
Vamos calcular o torque. A força que causa o torque é o peso da barra $ F = M \times g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,8 , m/s² $).
Então, o torque é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o momento de inércia ($ I $) da barra em relação ao ponto de rotação. Para uma barra uniforme rotacionando em torno de um eixo passando pelo seu centro, o momento de inércia é:
Passo 5
Com o torque e o momento de inércia calculados, podemos encontrar a aceleração angular ($ \alpha $) usando a segunda lei da rotação:
Resolvendo para $ \alpha $:
Passo 6
Agora, queremos a aceleração linear da extremidade direita da barra. Sabemos que a aceleração linear ($ a $) está relacionada à aceleração angular por:
onde $ r $ é a distância do pivô até a extremidade, que é $ \frac{L}{2} $.
Então:
Resposta
A aceleração angular inicial da barra é $ \alpha = \frac{6 g}{L} $ e a aceleração linear inicial da sua extremidade direita é $ a = 3 g $.