Um bloco de massa m 1=1,60 kg movendo-se inicialmente para a direita com uma velocidade escalar de 4,00 m / s em um trilho horizontal sem atrito colide com uma mola leve presa a um segundo bloco de massa m2 = 2,10 kg movendo-se inicialmente para a esquerda com uma velocidade escalar de 2,50 m/s. A constante da mola é 600 N / m.
(a) Encontre as velocidades dos dois blocos após a colisão.
(b) Determine a velocidade do bloco 2 durante a colisão no instante em que o bloco 1 está se movendo para a direita com velocidade +3,00 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de colisão envolvendo dois blocos e uma mola. A matéria aqui é Dinâmica, especificamente colisões e conservação de momentum e energia. Para resolver, vamos precisar usar as leis de conservação do momento e da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos:
  • Massa do bloco 1, $ m_1 = 1,60 , kg $
  • Velocidade inicial do bloco 1, $ v_{1i} = +4,00 , m/s $ (para a direita)
  • Massa do bloco 2, $ m_2 = 2,10 , kg $
  • Velocidade inicial do bloco 2, $ v_{2i} = -2,50 , m/s $ (para a esquerda)
  • Constante da mola, $ k = 600 , N/m $

Passo 3

Vamos aplicar a conservação do momento linear. A fórmula é:
m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f
Onde $ v_{1f} $ e $ v_{2f} $ são as velocidades finais dos blocos após a colisão.

Passo 4

Também vamos usar a conservação da energia cinética, já que a mola é leve e podemos considerar a colisão como elástica. A fórmula é:
12 m1 v1i^2 + 12 m2 v2i^2 = 12 m1 v1f^2 + 12 m2 v2f^2

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ v_{1f} $ e $ v_{2f} $). Vamos resolver essas equações para encontrar as velocidades finais dos blocos.
Primeiro, simplificamos as equações:
Momento:
v1f
v2f
1,60 times 4,00 + 2,10 times (-2,50) = 1,60 v1f + 2,10 v2f çã
Energia cinética:
6,40 - 5,25 = 1,60 v1f + 2,10 v2f
1,15 = 1,60 v1f + 2,10 v2f (Equação 1)
12 times 1,60 times 4,00^2 + 12 times 2,10 times (-2,50)^2 = 12 times 1,60 times v1f^2 + 12 times 2,10 times v2f^2
12 times 1,60 times 16 + 12 times 2,10 times 6,25 = 0,80 v1f^2 + 1,05 v2f^2 çã

Passo 6

Resolvemos a Equação 1 para uma das incógnitas, por exemplo, $ v_{1f} $:
v1f
1,15 = 1,60 v1f + 2,10 v2f
1,60 v1f = 1,15 - 2,10 v2f
Agora, substituímos $ v_{1f} $ na Equação 2:
v1f = 1,15 - 2,10 v2f1,60

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
19,36 = 0,80 ( 1,15 - 2,10 v2f1,60 )^2 + 1,05 v2f^2
19,36 = 0,80 ( 1,15 - 2,10 v2f1,60 )^2 + 1,05 v2f^2
Calculamos o quadrado:
( 1,15 - 2,10 v2f1,60 )^2 = (1,15 - 2,10 v2f)^22,56
Substituindo:
19,36 = 0,80 times (1,15 - 2,10 v2f)^22,56 + 1,05 v2f^2
Multiplicando:
19,36 = 0,802,56 (1,15 - 2,10 v2f)^2 + 1,05 v2f^2
19,36 = 0,3125 (1,3225 - 4,83 v2f + 4,41 v2f^2) + 1,05 v2f^2
19,36 = 0,3125 times 1,3225 - 0,3125 times 4,83 v2f + 0,3125 times 4,41 v2f^2 + 1,05 v2f^2
19,36 = 0,41328125 - 1,509375 v2f + 1,378125 v2f^2 + 1,05 v2f^2
19,36 - 0,41328125 = -1,509375 v2f + (1,378125 + 1,05) v2f^2
18,94671875 = -1,509375 v2f + 2,428125 v2f^2

Passo 8

Rearranjamos a equação para formar uma equação quadrática:
2,428125 v2f^2 - 1,509375 v2f - 18,94671875 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
v2f = 1,509375 pm raiz(-1,509375)^2 - 4 times 2,428125 times (-18,94671875)2 times 2,428125
Calculando o discriminante:
De
Então:
v2f = 1,509375 pm raiz186,18574,85625
v2f = 1,509375 pm 13,654,85625
Obtemos duas soluções:
v2f1 = 1,509375 + 13,654,85625 approx 3,04 , m/s
v2f2 = 1,509375 - 13,654,85625 approx -2,64 , m/s

Resposta

Após a colisão, as velocidades finais dos blocos são aproximadamente $ v_{1f} = -0,94 , m/s $ e $ v_{2f} = 3,04 , m/s $.

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