Um próton colide elasticamente com outro que está inicialmente em repouso. O próton chegando com velocidade escalar inicial de 3,50 times 10^5 m / s tem uma colisão oblíqua com o segundo. (A uma curta distância de separação, os prótons exercem uma força eletrostática de repulsão uns sobre os outros.) Após a colisão, um próton sai a um ângulo de 37,0^circ em relação à direção original de movimento, e o segundo desvia a um ângulo varphi em relação ao mesmo eixo. Encontre as velocidades escalares finais dos dois prótons e o ângulo varphi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma colisão entre dois prótons onde um está em movimento e o outro está parado. Trata-se de uma colisão elástica, o que significa que tanto a energia cinética quanto o momento são conservados. Vamos precisar usar as leis de conservação do momento (tanto na direção x quanto na y) e da energia cinética para achar as velocidades finais dos prótons e o ângulo varphi.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis:
  • Velocidade inicial do próton A: vA,i = 3,50 times 10^5 m/s
  • Velocidade inicial do próton B: vB,i = 0 m/s (está em repouso)
  • Velocidades finais: vA,f e vB,f
  • Ângulos após a colisão: próton A sai a 37,0^circ e o próton B sai a varphi

Passo 3

Vamos aplicar a conservação do momento linear nas direções x e y.
Na direção x:
m vA,i = m vA,f cos(37^circ) + m vB,f cos(varphi)
Podemos simplificar, já que a massa m dos prótons é igual e não é zero:
vA,i = vA,f cos(37^circ) + vB,f cos(varphi)

Passo 4

Na direção y, antes da colisão não há movimento, então a soma dos momentos deve ser zero após a colisão:
0 = m vA,f sin(37^circ) - m vB,f sin(varphi)
Novamente, simplificando pela massa m:
vA,f sin(37^circ) = vB,f sin(varphi)

Passo 5

Agora, aplicamos a conservação da energia cinética:
12 m vA,i^2 = 12 m vA,f^2 + 12 m vB,f^2
Simplificando pela 12 m:
vA,i^2 = vA,f^2 + vB,f^2

Passo 6

Temos agora um sistema de equações:
  1. vA,i = vA,f cos(37^circ) + vB,f cos(varphi)
  2. vA,f sin(37^circ) = vB,f sin(varphi)
  3. vA,i^2 = vA,f^2 + vB,f^2
Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, da equação 2, podemos expressar vA,f em termos de vB,f e varphi:
vA,f = vB,f sin(varphi)sin(37^circ)

Passo 7

Substituímos vA,f na equação 3:
vA,i^2 = (vB,f sin(varphi)sin(37^circ))^2 + vB,f^2
Vamos simplificar:
vA,i^2 = vB,f^2 ( sin^2(varphi)sin^2(37^circ) + 1 )

Passo 8

Agora, resolvemos para vB,f:
vB,f^2 = vA,i^2sin^2(varphi)sin^2(37^circ) + 1

Passo 9

Para achar varphi, podemos usar a equação 1 com vA,f já expresso em termos de vB,f:
vA,i = vB,f sin(varphi)sin(37^circ) cos(37^circ) + vB,f cos(varphi)
Fatorando vB,f:
vA,i = vB,f ( sin(varphi) cos(37^circ)sin(37^circ) + cos(varphi) )

Passo 10

Dividindo ambos os lados por vB,f:
vA,ivB,f = sin(varphi) cos(37^circ)sin(37^circ) + cos(varphi)
Usando a relação trigonométrica da tangente:

Passo 11

Este é um sistema complexo que geralmente requer métodos numéricos para solução exata. No entanto, dado que em uma colisão elástica oblíqua entre partículas iguais, os ângulos pós-colisão satisfazem varphi = 90^circ - 37^circ = 53^circ.

Passo 12

Com varphi = 53^circ, podemos agora calcular vB,f usando a equação 3:
vA,f^2 + vB,f^2 = (3,50 times 10^5)^2
E da equação 2:
vA,f = vB,f sin(53^circ)sin(37^circ)
Substituindo:
(vB,f sin(53^circ)sin(37^circ))^2 + vB,f^2 = (3,50 times 10^5)^2

Passo 13

Resolvendo para vB,f:
vB,f^2 ( sin^2(53^circ)sin^2(37^circ) + 1 ) = (3,50 times 10^5)^2
Calculando os valores trigonométricos:
sin(37^circ) approx 0,6018, sin(53^circ) approx 0,7986
Substituindo:
vB,f^2 ( 0,7986^20,6018^2 + 1 ) = (3,50 times 10^5)^2
vB,f^2 ( 0,63780,3622 + 1 ) = 1,225 times 10^11
vB,f^2 (1,760 + 1) = 1,225 times 10^11
vB,f^2 (2,760) = 1,225 times 10^11
vB,f^2 = 1,225 times 10^112,760 approx 4,446 times 10^10
vB,f approx raiz4,446 times 10^10 approx 6,67 times 10^5 m/s

Passo 14

Agora, encontramos vA,f usando:
vA,f = vB,f sin(53^circ)sin(37^circ) approx 6,67 times 10^5 times 0,79860,6018 approx 8,83 times 10^5 m/s

Passo 15

Então, resumindo:
  • Velocidade final do próton A: vA,f approx 8,83 times 10^5 m/s
  • Velocidade final do próton B: vB,f approx 6,67 times 10^5 m/s
  • Ângulo varphi approx 53^circ

Resposta

As velocidades finais dos prótons são aproximadamente vA,f = 8,83 times 10^5 m/s e vB,f = 6,67 times 10^5 m/s, e o ângulo varphi é 53^circ.

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