Um próton colide elasticamente com outro que está inicialmente em repouso. O próton chegando com velocidade escalar inicial de
tem uma colisão oblíqua com o segundo. (A uma curta distância de separação, os prótons exercem uma força eletrostática de repulsão uns sobre os outros.) Após a colisão, um próton sai a um ângulo de
em relação à direção original de movimento, e o segundo desvia a um ângulo
em relação ao mesmo eixo. Encontre as velocidades escalares finais dos dois prótons e o ângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma colisão entre dois prótons onde um está em movimento e o outro está parado. Trata-se de uma colisão elástica, o que significa que tanto a energia cinética quanto o momento são conservados. Vamos precisar usar as leis de conservação do momento (tanto na direção x quanto na y) e da energia cinética para achar as velocidades finais dos prótons e o ângulo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis:
- Velocidade inicial do próton A:
- Velocidade inicial do próton B:
(está em repouso) - Velocidades finais:
e - Ângulos após a colisão: próton A sai a
e o próton B sai a
Passo 3
Vamos aplicar a conservação do momento linear nas direções x e y.
Na direção x:
Podemos simplificar, já que a massa
dos prótons é igual e não é zero:
Passo 4
Na direção y, antes da colisão não há movimento, então a soma dos momentos deve ser zero após a colisão:
Novamente, simplificando pela massa
:
Passo 5
Agora, aplicamos a conservação da energia cinética:
Simplificando pela
:
Passo 6
Temos agora um sistema de equações:
Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, da equação 2, podemos expressar
em termos de
e
:
Passo 7
Substituímos
na equação 3:
Vamos simplificar:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Passo 9
Para achar
, podemos usar a equação 1 com
já expresso em termos de
:
Fatorando
:
Passo 10
Dividindo ambos os lados por
:
Usando a relação trigonométrica da tangente:
Passo 11
Este é um sistema complexo que geralmente requer métodos numéricos para solução exata. No entanto, dado que em uma colisão elástica oblíqua entre partículas iguais, os ângulos pós-colisão satisfazem
.
Passo 12
Com
, podemos agora calcular
usando a equação 3:
E da equação 2:
Substituindo:
Passo 13
Resolvendo para
:
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:
Passo 14
Agora, encontramos
usando:
Passo 15
Então, resumindo:
- Velocidade final do próton A:
- Velocidade final do próton B:
- Ângulo
Resposta
As velocidades finais dos prótons são aproximadamente
e
, e o ângulo
é
.