Quatro esferas minúsculas são amarradas às extremidades de duas barras de massa desprezível em um plano xy para formar um bastão incomum. Vamos supor que os raios das esferas são pequenos comparados com as dimensões das barras.
(a) Se o sistema gira sobre o eixo y com velocidade angular
, encontre o momento de inércia e a energia cinética rotacional do sistema sobre este eixo.
(b) Suponha que o sistema gire no plano xy sobre um eixo (o eixo z) pelo centro do bastão. Calcule o momento de inércia e a energia cinética rotacional sobre este eixo.
(a) Se o sistema gira sobre o eixo y com velocidade angular
(b) Suponha que o sistema gire no plano xy sobre um eixo (o eixo z) pelo centro do bastão. Calcule o momento de inércia e a energia cinética rotacional sobre este eixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de dinâmica rotacional, especificamente de calcular o momento de inércia e a energia cinética rotacional de um sistema de esferas ligadas a barras que giram em torno de diferentes eixos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o momento de inércia para objetos em rotação e usar a fórmula da energia cinética rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sistema: temos quatro esferas minúsculas ligadas às extremidades de duas barras de massa desprezível formando um bastão no plano xy. Isso significa que a massa está concentrada nas extremidades das barras.
Passo 3
Parte (a): O sistema gira sobre o eixo y com velocidade angular
. Nosso objetivo aqui é encontrar o momento de inércia (
) e a energia cinética rotacional (
) em relação a esse eixo.
Passo 4
Para calcular o momento de inércia em torno do eixo y, usamos a fórmula:
onde:
-
é a massa de cada esfera, -
é a distância de cada esfera ao eixo de rotação.
Como as barras têm massa desprezível, consideramos apenas as esferas.
Passo 5
Vamos supor que cada barra tem comprimento
, então cada esfera está a uma distância
do centro do bastão. No eixo y, as esferas nas extremidades ao longo do eixo x terão distância
do eixo y.
Passo 6
Então, para as quatro esferas:
onde
é a massa de cada esfera.
Passo 7
Agora, para a energia cinética rotacional, usamos a fórmula:
Substituímos o momento de inércia que encontramos:
Passo 8
Parte (b): Agora, o sistema gira no plano xy sobre o eixo z pelo centro do bastão. Devemos calcular o momento de inércia (
) e a energia cinética rotacional (
) em relação a esse eixo.
Passo 9
Para este eixo, a distância de cada esfera ao eixo z é a distância euclidiana no plano xy. Como as esferas estão nas extremidades das barras e as barras estão perpendicularmente dispostas, cada esfera está a uma distância
do eixo z.
Passo 10
Assim, o momento de inércia em relação ao eixo z é:
Passo 11
E a energia cinética rotacional será:
Resposta
(a) O momento de inércia em torno do eixo y é
e a energia cinética rotacional é
.
(b) O momento de inércia em torno do eixo z é
e a energia cinética rotacional é
.