O eixo composto indicado deverá receber um momento torcional T na extremidade A. Sabe-se que o módulo de elasticidade transversal é 76 GPa para o aço e 27,5 GPa para o alumínio. Determinar o maior ângulo de rotação que pode ocorrer em A, se não é possível exceder as seguintes tensões admissíveis:
tau aco =55 MPae tau alum =41 MPa

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de torsão em um eixo composto, que é basicamente um eixo feito de dois materiais diferentes: aço e alumínio. A gente precisa descobrir qual é o maior ângulo de rotação que a extremidade pode ter sem que as tensões nos materiais excedam os limites seguros. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre torsão, módulo de elasticidade transversal e como esses materiais se comportam juntos sob esforço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o momento torcional theta = T cdot LG cdot J provoca uma rotação no eixo, e essa rotação é medida pelo ângulo de torção . A relação entre , , o módulo de elasticidade transversal , e o momento de inércia polar do eixo é dada pela fórmula:
Onde:
  • é o comprimento do eixo.
  • é o módulo de elasticidade transversal.
  • é o momento de inércia polar da seção transversal.

Passo 3

No nosso caso, temos dois materiais: aço e alumínio, com módulos de elasticidade diferentes ( GPa e GPa). Além disso, temos tensões admissíveis para cada material ( MPa e MPa).
Como o eixo é composto, as duas partes devem torcer pelo mesmo ângulo . Vamos considerar que a parte de aço e a de alumínio compartilham o momento de torção de forma que as tensões não excedam os limites admissíveis.

Passo 4

Vamos chamar o momento de torção na parte de aço de T = Taco + Talum e na parte de alumínio de tau = T cdot rJ . Como o eixo é composto e está em equilíbrio, temos:
Além disso, a tensão de cisalhamento na seção de cada material é dada por:
Onde é o raio da seção.

Passo 5

Para garantir que as tensões não excedam os limites, podemos relacionar os momentos de torção aos módulos de elasticidade e às tensões admissíveis:
tauaco = Taco cdot rJaco e taualum = Talum cdot rJalum
Resolvendo para Taco = tauaco cdot Jacor e Talum = taualum cdot Jalumr e :

Passo 6

Substituindo esses valores na equação do equilíbrio T = tauaco cdot Jacor + taualum cdot Jalumr :
T = 1r ( tauaco cdot Jaco + taualum cdot Jalum )
Fatorando :

Passo 7

Agora, vamos voltar à fórmula do ângulo de torção theta = T cdot LG cdot J :
theta = ( 1r (tauaco Jaco + taualum Jalum) ) cdot LG cdot J
Como queremos encontrar o maior ângulo de rotação sem exceder as tensões admissíveis, substituímos da equação anterior:

Passo 8

Para simplificar, vamos considerar que as seções de aço e alumínio têm o mesmo raio J = Jaco + Jalum e que o momento de inércia total theta = (tauaco Jaco + taualum Jalum) cdot LG cdot r cdot (Jaco + Jalum) é a soma dos momentos de inércia de cada material:
Substituindo na equação do ângulo:

Passo 9

Agora, vamos isolar theta = LG cdot r cdot tauaco Jaco + taualum JalumJaco + Jalum para encontrar o maior ângulo de rotação permitido:

Resposta

Portanto, o maior ângulo de rotação que pode ocorrer em theta = LG cdot r cdot tauaco Jaco + taualum JalumJaco + Jalum sem exceder as tensões admissíveis é dado por:

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