O eixo composto indicado deverá receber um momento torcional
na extremidade
. Sabe-se que o módulo de elasticidade transversal é 76 GPa para o aço e
para o alumínio. Determinar o maior ângulo de rotação que pode ocorrer em
, se não é possível exceder as seguintes tensões admissíveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de torsão em um eixo composto, que é basicamente um eixo feito de dois materiais diferentes: aço e alumínio. A gente precisa descobrir qual é o maior ângulo de rotação que a extremidade
pode ter sem que as tensões nos materiais excedam os limites seguros. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre torsão, módulo de elasticidade transversal e como esses materiais se comportam juntos sob esforço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o momento torcional
provoca uma rotação no eixo, e essa rotação é medida pelo ângulo de torção
. A relação entre
,
, o módulo de elasticidade transversal
, e o momento de inércia polar
do eixo é dada pela fórmula:
Onde:
-
é o comprimento do eixo. -
é o módulo de elasticidade transversal. -
é o momento de inércia polar da seção transversal.
Passo 3
No nosso caso, temos dois materiais: aço e alumínio, com módulos de elasticidade diferentes (
GPa e
GPa). Além disso, temos tensões admissíveis para cada material (
MPa e
MPa).
Como o eixo é composto, as duas partes devem torcer pelo mesmo ângulo
. Vamos considerar que a parte de aço e a de alumínio compartilham o momento de torção
de forma que as tensões não excedam os limites admissíveis.
Passo 4
Vamos chamar o momento de torção na parte de aço de
e na parte de alumínio de
. Como o eixo é composto e está em equilíbrio, temos:
Além disso, a tensão de cisalhamento
na seção de cada material é dada por:
Onde
é o raio da seção.
Passo 5
Para garantir que as tensões não excedam os limites, podemos relacionar os momentos de torção aos módulos de elasticidade e às tensões admissíveis:
Resolvendo para
e
:
Passo 6
Substituindo esses valores na equação do equilíbrio
:
Fatorando
:
Passo 7
Agora, vamos voltar à fórmula do ângulo de torção
:
Como queremos encontrar o maior ângulo de rotação sem exceder as tensões admissíveis, substituímos
da equação anterior:
Passo 8
Para simplificar, vamos considerar que as seções de aço e alumínio têm o mesmo raio
e que o momento de inércia total
é a soma dos momentos de inércia de cada material:
Substituindo na equação do ângulo:
Passo 9
Agora, vamos isolar
para encontrar o maior ângulo de rotação permitido:
Resposta
Portanto, o maior ângulo de rotação que pode ocorrer em
sem exceder as tensões admissíveis é dado por: