Uma barragem de contenção, que pode ser considerada um vertedor retangular, com de extensão em um rio oferece um meio de coletar rejeitos que escoam a jusante. Se a vazão sobre a barragem é de e um modelo dessa represa tiver de ser construido para uma escala de , determine a vazão sobre o modelo e a profundidade da água (carga) que escoa sobre sua crista. Suponha que a temperatura da água para o protótipo e para o modelo seja a mesma. Considere um Cd de 0,71 tanto para o modelo quanto para o protótipo. Experimentos prévios determinaram o número adimensional que relaciona a vazão com as demais variáveis neste sistema: . Lembre que a equação para o cálculo da vazão em vertedores retangulares é .
Dados:

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma barragem de contenção que funciona como um vertedor retangular com 60 pés de extensão em um rio. A vazão sobre a barragem é de 8000 ft³/s. Precisamos construir um modelo dessa barragem com escala 1:20 e determinar a vazão no modelo e a profundidade da água que passa sobre a crista da barragem modelo.
Matéria envolvida: Escalonamento de modelos físicos e análise dimensional.
O que vamos precisar:
  • Entender como escalar as diferentes variáveis do problema.
  • Aplicar os números adimensionais fornecidos ( e ).
  • Utilizar a fórmula para cálculo da vazão em vertedores retangulares.

Passo 2

Vamos começar identificando as escalas envolvidas. A escala linear é 1:20, o que significa que todas as dimensões lineares do modelo são 1/20 das dimensões do protótipo. Assim, se o comprimento no protótipo é , no modelo será .

Passo 3

Em seguida, precisamos relacionar a vazão no modelo ( ) com a vazão no protótipo ( ). Para isso, usamos o número adimensional :
Como deve ser igual para o protótipo e o modelo, temos:

Passo 4

Sabemos que a profundidade no modelo está relacionada à profundidade no protótipo pela escala linear:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:

Passo 5

Calculando a vazão no modelo:

Passo 6

Agora, vamos determinar a profundidade da água no modelo ( ) que escoa sobre a crista da barragem. Usando a relação de escala linear:
Mas precisamos encontrar primeiro. Podemos rearranjar a fórmula do número adimensional :
Assumindo que seja constante para o protótipo e o modelo, e considerando , temos:
Sem valores específicos para , assumimos que a profundidade no modelo será 1/20 da profundidade no protótipo.

Resposta

A vazão sobre o modelo é aproximadamente e a profundidade da água que escoa sobre a crista da barragem modelo é 1/20 da profundidade no protótipo.

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Dados: .
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