Uma barragem de contenção, que pode ser considerada um vertedor retangular, com
de extensão em um rio oferece um meio de coletar rejeitos que escoam a jusante. Se a vazão sobre a barragem é de
e um modelo dessa represa tiver de ser construido para uma escala de
, determine a vazão sobre o modelo e a profundidade da água (carga) que escoa sobre sua crista. Suponha que a temperatura da água para o protótipo e para o modelo seja a mesma. Considere um Cd de 0,71 tanto para o modelo quanto para o protótipo. Experimentos prévios determinaram o número adimensional que relaciona a vazão com as demais variáveis neste sistema:
. Lembre que a equação para o cálculo da vazão em vertedores retangulares é
.
Dados:
Dados:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma barragem de contenção que funciona como um vertedor retangular com 60 pés de extensão em um rio. A vazão sobre a barragem é de 8000 ft³/s. Precisamos construir um modelo dessa barragem com escala 1:20 e determinar a vazão no modelo e a profundidade da água que passa sobre a crista da barragem modelo.
Matéria envolvida: Escalonamento de modelos físicos e análise dimensional.
O que vamos precisar:
- Entender como escalar as diferentes variáveis do problema.
- Aplicar os números adimensionais fornecidos (
e ). - Utilizar a fórmula para cálculo da vazão em vertedores retangulares.
Passo 2
Vamos começar identificando as escalas envolvidas. A escala linear é 1:20, o que significa que todas as dimensões lineares do modelo são 1/20 das dimensões do protótipo. Assim, se o comprimento no protótipo é
, no modelo será
.
Passo 3
Em seguida, precisamos relacionar a vazão no modelo (
) com a vazão no protótipo (
). Para isso, usamos o número adimensional
:
Como
deve ser igual para o protótipo e o modelo, temos:
Passo 4
Sabemos que a profundidade no modelo está relacionada à profundidade no protótipo pela escala linear:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Passo 5
Calculando a vazão no modelo:
Passo 6
Agora, vamos determinar a profundidade da água no modelo (
) que escoa sobre a crista da barragem. Usando a relação de escala linear:
Mas precisamos encontrar
primeiro. Podemos rearranjar a fórmula do número adimensional
:
Assumindo que
seja constante para o protótipo e o modelo, e considerando
, temos:
Sem valores específicos para
, assumimos que a profundidade no modelo será 1/20 da profundidade no protótipo.
Resposta
A vazão sobre o modelo é aproximadamente
e a profundidade da água que escoa sobre a crista da barragem modelo é 1/20 da profundidade no protótipo.