Uma barragem de contenção, que pode ser considerada um vertedor retangular, com 60 ft de extensão em um rio oferece um meio de coletar rejeitos que escoam a jusante. Se a vazão sobre a barragem é de 8000 ft^3 / s e um modelo dessa represa tiver de ser construido para uma escala de 1 / 20, determine a vazão sobre o modelo e a profundidade da água (carga) que escoa sobre sua crista. Suponha que a temperatura da água para o protótipo e para o modelo seja a mesma. Considere um Cd de 0,71 tanto para o modelo quanto para o protótipo. Experimentos prévios determinaram o número adimensional que relaciona a vazão com as demais variáveis neste sistema: pi1=Qg / 12 h^5 / 2 ; pi2=Lh. Lembre que a equação para o cálculo da vazão em vertedores retangulares é Q=23 C d L raiz2 g H^12.
Dados: 1 ft=0,3048 m

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma barragem de contenção que funciona como um vertedor retangular com 60 pés de extensão em um rio. A vazão sobre a barragem é de 8000 ft³/s. Precisamos construir um modelo dessa barragem com escala 1:20 e determinar a vazão no modelo e a profundidade da água que passa sobre a crista da barragem modelo.
Matéria envolvida: Escalonamento de modelos físicos e análise dimensional.
O que vamos precisar:
  • Entender como escalar as diferentes variáveis do problema.
  • Aplicar os números adimensionais fornecidos ( pi1 e pi2).
  • Utilizar a fórmula para cálculo da vazão em vertedores retangulares.

Passo 2

Vamos começar identificando as escalas envolvidas. A escala linear é 1:20, o que significa que todas as dimensões lineares do modelo são 1/20 das dimensões do protótipo. Assim, se o comprimento no protótipo é L, no modelo será Lm = L / 20.

Passo 3

Em seguida, precisamos relacionar a vazão no modelo ( Qm) com a vazão no protótipo ( Qp). Para isso, usamos o número adimensional pi1:
pi1 = Qg cdot h^5/2
Como pi1 deve ser igual para o protótipo e o modelo, temos:
Qpg cdot hp^5/2 = Qmg cdot hm^5/2

Passo 4

Sabemos que a profundidade no modelo está relacionada à profundidade no protótipo pela escala linear:
hm = hp20
Substituindo na equação anterior:
Qpg cdot hp^5/2 = Qmg cdot (hp20)^5/2
Simplificando:
Qm = Qp cdot (hmhp)^5/2 = Qp cdot (120)^5/2

Passo 5

Calculando a vazão no modelo:
Qm = 8000 cdot (120)^5/2 = 8000 cdot (120^2 cdot raiz20) = 8000 cdot (1400 cdot 4.4721) approx 8000 cdot 11788.8 approx 4.48 , ft^3/s

Passo 6

Agora, vamos determinar a profundidade da água no modelo ( hm) que escoa sobre a crista da barragem. Usando a relação de escala linear:
hm = hp20
Mas precisamos encontrar hp primeiro. Podemos rearranjar a fórmula do número adimensional pi2:
pi2 = Lh implies hp = Lppi2
Assumindo que pi2 seja constante para o protótipo e o modelo, e considerando Lm = Lp / 20, temos:
hm = hp20 = Lp20 cdot pi2 = Lmpi2
Sem valores específicos para pi2, assumimos que a profundidade no modelo será 1/20 da profundidade no protótipo.

Resposta

A vazão sobre o modelo é aproximadamente 4,48 , ft^3/s e a profundidade da água que escoa sobre a crista da barragem modelo é 1/20 da profundidade no protótipo.

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