As barras indica que os algarismos se repetem infinitamente. Expresse a decimal periódica como uma série e ache o número racional que ela representa.
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o número decimal periódico , que significa que os algarismos “17” se repetem infinitamente. O objetivo aqui é expressar esse decimal como uma série matemática e descobrir qual número racional ele representa. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o decimal periódico como uma série. O número pode ser expandido assim:
Aqui, cada termo subsequente é vezes o termo anterior, formando uma série geométrica.
Passo 3
Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
é a soma da série,
é o primeiro termo,
é a razão da série (neste caso, ).
Passo 4
A soma de uma série geométrica infinita pode ser calculada pela fórmula:
Desde que a razão esteja entre -1 e 1 (), o que garante que a série converge.
Passo 5
Aplicando os valores da nossa série:
Substituindo na fórmula:
Resposta
O número racional que representa o decimal periódico é .