As barras indica que os algarismos se repetem infinitamente. Expresse a decimal periódica como uma série e ache o número racional que ela representa.
d) ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o número decimal periódico , que significa que os algarismos “17” se repetem infinitamente. O objetivo aqui é expressar esse decimal como uma série matemática e descobrir qual número racional ele representa. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o decimal periódico como uma série. O número pode ser expandido assim:
Aqui, cada termo subsequente é vezes o termo anterior, formando uma série geométrica.

Passo 3

Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
  • é a soma da série,
  • é o primeiro termo,
  • é a razão da série (neste caso, ).

Passo 4

A soma de uma série geométrica infinita pode ser calculada pela fórmula:
Desde que a razão esteja entre -1 e 1 ( ), o que garante que a série converge.

Passo 5

Aplicando os valores da nossa série:
Substituindo na fórmula:

Resposta

O número racional que representa o decimal periódico é .

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b)
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usando a relação de Binet.