f(lambda)=sumi=1^n(xi+lambda yi)^2 >= 0
forall lambda in R para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz
(sumi=1^n xi yi)^2 <=(sumi=1^n xi)^2(sumi=1^n yi)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz usando a função para todo real. Isso envolve conceitos de álgebra e desigualdades quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a função f(lambda) = sumi=1^n (xi + lambda yi)^2 = sumi=1^n ( xi^2 + 2lambda xi yi + lambda^2 yi^2 ) . Isso significa multiplicar para cada termo da soma:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a soma para separar os termos que têm f(lambda) = lambda^2 sumi=1^n yi^2 + 2lambda sumi=1^n xi yi + sumi=1^n xi^2 , f(lambda) = Alambda^2 + Blambda + C e os termos constantes:
Isso deixa a função na forma de um polinômio quadrático em :
onde:

Passo 4

Como B^2 - 4AC <= 0 é sempre maior ou igual a zero para todo , isso significa que o polinômio não tem raízes reais ou toca o eixo apenas uma vez. Em termos matemáticos, o discriminante da equação quadrática deve ser menor ou igual a zero:

Passo 5

Vamos substituir (2sumi=1^n xi yi)^2 - 4(sumi=1^n yi^2)(sumi=1^n xi^2) <= 0 , e na fórmula do discriminante:

Passo 6

Simplificando a expressão:
4(sumi=1^n xi yi)^2 - 4(sumi=1^n xi^2)(sumi=1^n yi^2) <= 0
Dividindo ambos os lados por 4:
(sumi=1^n xi yi)^2 <= (sumi=1^n xi^2)(sumi=1^n yi^2)

Resposta

Portanto, provamos que:
(sumi=1^n xi yi)^2 <= (sumi=1^n xi^2)(sumi=1^n yi^2)

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