para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz usando a função
para todo
real. Isso envolve conceitos de álgebra e desigualdades quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a função
. Isso significa multiplicar
para cada termo da soma:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a soma para separar os termos que têm
,
e os termos constantes:
Isso deixa a função na forma de um polinômio quadrático em
:
onde:
Passo 4
Como
é sempre maior ou igual a zero para todo
, isso significa que o polinômio não tem raízes reais ou toca o eixo apenas uma vez. Em termos matemáticos, o discriminante da equação quadrática deve ser menor ou igual a zero:
Passo 5
Vamos substituir
,
e
na fórmula do discriminante:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Dividindo ambos os lados por 4:
Resposta
Portanto, provamos que:
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Prove que
b)
b)
Julgue as afirmativas a seguir:
II - C está contido em A.
As barras indica que os algarismos se repetem infinitamente. Expresse a decimal periódica como uma série e ache o número racional que ela representa.
d) ;
d)
Justifique se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes:
d) A soma de dois racionais não inteiros pode ser um número inteiro.
d) A soma de dois racionais não inteiros pode ser um número inteiro.