para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz usando a função para todo real. Isso envolve conceitos de álgebra e desigualdades quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a função . Isso significa multiplicar para cada termo da soma:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a soma para separar os termos que têm , e os termos constantes:
Isso deixa a função na forma de um polinômio quadrático em :
onde:

Passo 4

Como é sempre maior ou igual a zero para todo , isso significa que o polinômio não tem raízes reais ou toca o eixo apenas uma vez. Em termos matemáticos, o discriminante da equação quadrática deve ser menor ou igual a zero:

Passo 5

Vamos substituir , e na fórmula do discriminante:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Dividindo ambos os lados por 4:

Resposta

Portanto, provamos que:

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Prove que
b)
conjunto dos números pares; conjunto dos números ímpares; conjunto dos múltiplos de 4.
Julgue as afirmativas a seguir:
II - C está contido em A.
As barras indica que os algarismos se repetem infinitamente. Expresse a decimal periódica como uma série e ache o número racional que ela representa.
d) ;
Justifique se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes:
d) A soma de dois racionais não inteiros pode ser um número inteiro.