Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular a função geradora da função . A matéria que vamos usar aqui envolve funções geradoras e, especificamente, vamos utilizar a relação de Binet para isso. Para resolver, vamos precisar entender como somar quadrados de números e como expressar isso em termos de séries geradoras usando fórmulas matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função geradora. Basicamente, é uma maneira de representar uma sequência de números como uma série de potências em termos de uma variável . Ou seja, a função geradora de é dada por:
No nosso caso, , então precisamos expressar essa soma de quadrados em termos de uma função geradora.
Passo 3
Vamos começar encontrando uma expressão para . Sabemos que há uma fórmula conhecida para a soma dos quadrados dos primeiros números naturais:
Essa fórmula simplifica a soma dos quadrados e vai nos ajudar a encontrar a função geradora.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a função geradora para essa expressão. Vamos substituir pela fórmula que encontramos:
Para simplificar isso, vamos separar a fração e trabalhar com cada termo individualmente.
Passo 5
Vamos reescrever a expressão dentro da soma:
Agora, precisamos expandir o produto para facilitar a soma.
Passo 6
Expandindo :
Então, nossa função geradora fica:
Passo 7
Agora, podemos separar a soma em três partes:
Vamos resolver cada uma dessas somas individualmente usando fórmulas de funções geradoras conhecidas.
Passo 8
As funções geradoras que vamos usar são:
Para :
Para :
Para :
Passo 9
Substituindo essas expressões na nossa função geradora:
Vamos simplificar cada termo:
permanece igual.
Passo 10
Agora, somamos todos os termos:
Para somar essas frações, precisamos ter o mesmo denominador. Observamos que o denominador comum será .
Passo 11
Reescrevendo cada fração com o denominador comum :