Calcule a função geradora de
usando a relação de Binet.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular a função geradora da função
. A matéria que vamos usar aqui envolve funções geradoras e, especificamente, vamos utilizar a relação de Binet para isso. Para resolver, vamos precisar entender como somar quadrados de números e como expressar isso em termos de séries geradoras usando fórmulas matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função geradora. Basicamente, é uma maneira de representar uma sequência de números
como uma série de potências em termos de uma variável
. Ou seja, a função geradora
de
é dada por:
No nosso caso,
, então precisamos expressar essa soma de quadrados em termos de uma função geradora.
Passo 3
Vamos começar encontrando uma expressão para
. Sabemos que há uma fórmula conhecida para a soma dos quadrados dos primeiros
números naturais:
Essa fórmula simplifica a soma dos quadrados e vai nos ajudar a encontrar a função geradora.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a função geradora
para essa expressão. Vamos substituir
pela fórmula que encontramos:
Para simplificar isso, vamos separar a fração e trabalhar com cada termo individualmente.
Passo 5
Vamos reescrever a expressão dentro da soma:
Agora, precisamos expandir o produto
para facilitar a soma.
Passo 6
Expandindo
:
Então, nossa função geradora fica:
Passo 7
Agora, podemos separar a soma em três partes:
Vamos resolver cada uma dessas somas individualmente usando fórmulas de funções geradoras conhecidas.
Passo 8
As funções geradoras que vamos usar são:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 9
Substituindo essas expressões na nossa função geradora:
Vamos simplificar cada termo:
-
-
-
permanece igual.
Passo 10
Agora, somamos todos os termos:
Para somar essas frações, precisamos ter o mesmo denominador. Observamos que o denominador comum será
.
Passo 11
Reescrevendo cada fração com o denominador comum
:
-
já está com o denominador correto. -
-
Passo 12
Agora, somamos os numeradores:
Vamos expandir cada termo no numerador:
Passo 13
Somando todos os termos expandidos:
Portanto, o numerador simplifica para
.
Passo 14
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
A função geradora de
é: