Calcule a função geradora de
f(n) = sumk=0^n k^2
usando a relação de Binet.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular a função geradora da função . A matéria que vamos usar aqui envolve funções geradoras e, especificamente, vamos utilizar a relação de Binet para isso. Para resolver, vamos precisar entender como somar quadrados de números e como expressar isso em termos de séries geradoras usando fórmulas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função geradora. Basicamente, é uma maneira de representar uma sequência de números G(x) = sumn=0^infty f(n) x^n como uma série de potências em termos de uma variável . Ou seja, a função geradora de é dada por:
No nosso caso, , então precisamos expressar essa soma de quadrados em termos de uma função geradora.

Passo 3

Vamos começar encontrando uma expressão para sumk=0^n k^2 = n(n + 1)(2n + 1)6 . Sabemos que há uma fórmula conhecida para a soma dos quadrados dos primeiros números naturais:
Essa fórmula simplifica a soma dos quadrados e vai nos ajudar a encontrar a função geradora.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a função geradora G(x) = sumn=0^infty n(n + 1)(2n + 1)6 x^n para essa expressão. Vamos substituir pela fórmula que encontramos:
Para simplificar isso, vamos separar a fração e trabalhar com cada termo individualmente.

Passo 5

Vamos reescrever a expressão dentro da soma:
G(x) = 16 sumn=0^infty n(n + 1)(2n + 1) x^n
Agora, precisamos expandir o produto para facilitar a soma.

Passo 6

Expandindo n(n + 1)(2n + 1) = n(2n^2 + 3n + 1) = 2n^3 + 3n^2 + n :
G(x) = 16 sumn=0^infty (2n^3 + 3n^2 + n) x^n
Então, nossa função geradora fica:

Passo 7

Agora, podemos separar a soma em três partes:
G(x) = 16 ( 2 sumn=0^infty n^3 x^n + 3 sumn=0^infty n^2 x^n + sumn=0^infty n x^n )
Vamos resolver cada uma dessas somas individualmente usando fórmulas de funções geradoras conhecidas.

Passo 8

As funções geradoras que vamos usar são:
  1. Para sumn=0^infty n x^n = x(1 - x)^2 :
    sumn=0^infty n^2 x^n = x(1 + x)(1 - x)^3
  2. Para sumn=0^infty n^3 x^n = x(1 + 4x + x^2)(1 - x)^4 :
  3. Para :

Passo 9

Substituindo essas expressões na nossa função geradora:
G(x) = 16 ( 2 cdot x(1 + 4x + x^2)(1 - x)^4 + 3 cdot x(1 + x)(1 - x)^3 + x(1 - x)^2 )
Vamos simplificar cada termo:
  1. permanece igual.

Passo 10

Agora, somamos todos os termos:
G(x) = 16 ( 2x(1 + 4x + x^2)(1 - x)^4 + 3x(1 + x)(1 - x)^3 + x(1 - x)^2 )
Para somar essas frações, precisamos ter o mesmo denominador. Observamos que o denominador comum será .

Passo 11

Reescrevendo cada fração com o denominador comum :
  1. já está com o denominador correto.

Passo 12

Agora, somamos os numeradores:
G(x) = 16 cdot 2x(1 + 4x + x^2) + 3x(1 + x)(1 - x) + x(1 - 2x + x^2)(1 - x)^4
Vamos expandir cada termo no numerador:

Passo 13

Somando todos os termos expandidos:
(2x + 8x^2 + 2x^3) + (3x - 3x^3) + (x - 2x^2 + x^3) = 6x + 6x^2 + 0x^3
Portanto, o numerador simplifica para .

Passo 14

Substituindo de volta na expressão de G(x) = 16 cdot 6x + 6x^2(1 - x)^4 = 6x(1 + x)6(1 - x)^4 = x(1 + x)(1 - x)^4 :

Resposta

A função geradora de G(x) = x(1 + x)(1 - x)^4 é:

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