Calcule a função geradora de
usando a relação de Binet.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular a função geradora da função . A matéria que vamos usar aqui envolve funções geradoras e, especificamente, vamos utilizar a relação de Binet para isso. Para resolver, vamos precisar entender como somar quadrados de números e como expressar isso em termos de séries geradoras usando fórmulas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função geradora. Basicamente, é uma maneira de representar uma sequência de números como uma série de potências em termos de uma variável . Ou seja, a função geradora de é dada por:
No nosso caso, , então precisamos expressar essa soma de quadrados em termos de uma função geradora.

Passo 3

Vamos começar encontrando uma expressão para . Sabemos que há uma fórmula conhecida para a soma dos quadrados dos primeiros números naturais:
Essa fórmula simplifica a soma dos quadrados e vai nos ajudar a encontrar a função geradora.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a função geradora para essa expressão. Vamos substituir pela fórmula que encontramos:
Para simplificar isso, vamos separar a fração e trabalhar com cada termo individualmente.

Passo 5

Vamos reescrever a expressão dentro da soma:
Agora, precisamos expandir o produto para facilitar a soma.

Passo 6

Expandindo :
Então, nossa função geradora fica:

Passo 7

Agora, podemos separar a soma em três partes:
Vamos resolver cada uma dessas somas individualmente usando fórmulas de funções geradoras conhecidas.

Passo 8

As funções geradoras que vamos usar são:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 9

Substituindo essas expressões na nossa função geradora:
Vamos simplificar cada termo:
  1. permanece igual.

Passo 10

Agora, somamos todos os termos:
Para somar essas frações, precisamos ter o mesmo denominador. Observamos que o denominador comum será .

Passo 11

Reescrevendo cada fração com o denominador comum :
  1. já está com o denominador correto.

Passo 12

Agora, somamos os numeradores:
Vamos expandir cada termo no numerador:

Passo 13

Somando todos os termos expandidos:
Portanto, o numerador simplifica para .

Passo 14

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A função geradora de é:

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d) ;
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