Prove que
b) a^(n+1) - 1 = (a - 1)(1 + a + ... + a^n), a, n in N

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido: precisamos mostrar que para números naturais e , a expressão é igual a . Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas de álgebra, especialmente a distribuição na multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar pelo somatório . Usando a propriedade distributiva, multiplicamos cada termo dentro do parêntese por e por :

Passo 3

Agora, vamos expandir cada parte da multiplicação:

Passo 4

Somando as duas expressões resultantes, percebemos que muitos termos se cancelam:

Resposta

Assim, demonstramos que .

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