Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportame grandes de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a equação diferencial usando o campo de direções e descrever como o comportamento de
se comporta quando
fica grande. Isso está ligado ao conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem e ao estudo do comportamento assintótico das soluções. Vamos precisar resolver essa equação para entender melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação linear de primeira ordem e podemos resolver usando o método do fator integrante.
Passo 3
O método do fator integrante envolve multiplicar a equação por uma função que vai facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
onde
é o coeficiente de
na equação original. No nosso caso,
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos a forma padrão da integral.
Passo 6
A integral resulta em:
Substituindo de volta na equação:
Passo 7
Simplificando, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, para analisar o comportamento de
quando
fica grande, observamos cada termo da solução:
- e
são funções oscilatórias que não crescem indefinidamente. -
tende a zero quando vai para o infinito, porque diminui exponencialmente.
Resposta
Para valores grandes de
, a solução da equação diferencial se comporta como
as funções oscilam em torno desse comportamento, já que o termo
desaparece conforme
cresce.
Exercícios relacionados
Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para deter soluções quando
.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para deter soluções quando
.
Calcular
, sendo
a região limitada pela elipse
.