Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportame grandes de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a equação diferencial usando o campo de direções e descrever como o comportamento de se comporta quando fica grande. Isso está ligado ao conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem e ao estudo do comportamento assintótico das soluções. Vamos precisar resolver essa equação para entender melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação linear de primeira ordem e podemos resolver usando o método do fator integrante.

Passo 3

O método do fator integrante envolve multiplicar a equação por uma função que vai facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:
onde é o coeficiente de na equação original. No nosso caso, , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos a forma padrão da integral.

Passo 6

A integral resulta em:
Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Simplificando, temos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Agora, para analisar o comportamento de quando fica grande, observamos cada termo da solução:
  • e são funções oscilatórias que não crescem indefinidamente.
  • tende a zero quando vai para o infinito, porque diminui exponencialmente.

Resposta

Para valores grandes de , a solução da equação diferencial se comporta como
as funções oscilam em torno desse comportamento, já que o termo desaparece conforme cresce.

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