Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para deter soluções quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral da equação e depois determinar o comportamento dessa solução quando
tende ao infinito. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos. A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem, da forma
. Aqui,
e .
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 4
Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então podemos reescrever a equação como:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Integrando
:
Mas como estamos integrando indefinidamente, podemos absorver a constante
em
. Então:
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Para determinar o comportamento de
quando
, analisamos cada termo da solução:
- O termo
tende a zero, pois diminui exponencialmente. - O termo é constante.
Portanto, quando
, a solução
se aproxima de .
Resposta
A solução geral da equação diferencial é . Quando
tende ao infinito,
se aproxima de .
Exercícios relacionados
Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportame grandes de
.
Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Calcular
, sendo
a região limitada pela elipse
.
Calcular
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada por
e
.