Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para deter soluções quando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral da equação e depois determinar o comportamento dessa solução quando tende ao infinito. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos. A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem, da forma . Aqui, e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:

Passo 4

Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então podemos reescrever a equação como:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Integrando :
Mas como estamos integrando indefinidamente, podemos absorver a constante em . Então:

Passo 6

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Para determinar o comportamento de quando , analisamos cada termo da solução:
  • O termo tende a zero, pois diminui exponencialmente.
  • O termo é constante.
Portanto, quando , a solução se aproxima de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é . Quando tende ao infinito, se aproxima de .

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Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportame grandes de .
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