Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para deter soluções quando t -> infinito. y' + y = t e^(-1) + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da gente: . No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, a gente calcula o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai ajudar a gente a transformar a equação original numa que seja mais fácil de resolver.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Isso simplifica a equação porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 5

Reescrevemos o lado esquerdo como uma derivada:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Resolvendo as integrais:
A primeira integral usa integração por partes:
Então:

Passo 6

Agora, isolamos :
Simplificando:
Ou de forma mais organizada:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Quando , o termo tende a zero, então:

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