Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para deter soluções quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da gente:
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, a gente calcula o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai ajudar a gente a transformar a equação original numa que seja mais fácil de resolver.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Isso simplifica a equação porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Reescrevemos o lado esquerdo como uma derivada:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Resolvendo as integrais:
A primeira integral usa integração por partes:
Então:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Simplificando:
Ou de forma mais organizada:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Quando
, o termo
tende a zero, então: