Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada:
com
. Isso envolve o estudo de equações diferenciais e como elas se comportam graficamente. Vamos precisar entender o que é um campo de direções e como usar a equação dada para criar esse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação para facilitar nosso trabalho. A equação dada é:
Vamos somar
dos dois lados:
Agora, dividimos tudo por
para isolar
:
Agora temos
expressa em termos de
e
, o que facilita a análise.
Passo 3
Um campo de direções mostra a inclinação das soluções da equação diferencial em cada ponto
. A inclinação em cada ponto é dada por
. Então, para cada par
com
, calculamos
usando a expressão que encontramos:
Isso nos dá a direção da reta tangente à solução passando por
.
Passo 4
Vamos escolher alguns valores específicos de
e
para calcular
e desenhar as setas que representam as inclinações no campo. Por exemplo:
- Se
e : - Se
e : - Se
e :
Esses cálculos nos dão as inclinações em pontos específicos.
Passo 5
Com as inclinações calculadas, desenhamos setas em cada ponto
representando o valor de
. Setas inclinadas para cima indicam
e inclinadas para baixo indicam
. Repetindo esse processo para vários valores de
e
, criamos um campo que mostra como as soluções se comportam graficamente.
Resposta
O campo de direções para a equação diferencial
com
foi construído calculando
em vários pontos
e desenhando setas com as inclinações correspondentes, resultando em um gráfico que ilustra o comportamento das soluções dessa equação diferencial.
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