Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada: com . Isso envolve o estudo de equações diferenciais e como elas se comportam graficamente. Vamos precisar entender o que é um campo de direções e como usar a equação dada para criar esse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação para facilitar nosso trabalho. A equação dada é:
Vamos somar dos dois lados:
Agora, dividimos tudo por para isolar :
Agora temos expressa em termos de e , o que facilita a análise.

Passo 3

Um campo de direções mostra a inclinação das soluções da equação diferencial em cada ponto . A inclinação em cada ponto é dada por . Então, para cada par com , calculamos usando a expressão que encontramos:
Isso nos dá a direção da reta tangente à solução passando por .

Passo 4

Vamos escolher alguns valores específicos de e para calcular e desenhar as setas que representam as inclinações no campo. Por exemplo:
  • Se e :
  • Se e :
  • Se e :
Esses cálculos nos dão as inclinações em pontos específicos.

Passo 5

Com as inclinações calculadas, desenhamos setas em cada ponto representando o valor de . Setas inclinadas para cima indicam e inclinadas para baixo indicam . Repetindo esse processo para vários valores de e , criamos um campo que mostra como as soluções se comportam graficamente.

Resposta

O campo de direções para a equação diferencial com foi construído calculando em vários pontos e desenhando setas com as inclinações correspondentes, resultando em um gráfico que ilustra o comportamento das soluções dessa equação diferencial.

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