Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é delimitada pela elipse . Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas elípticas e conhecimentos sobre integrais duplas.
Passo 2
Vamos começar identificando a região de integração . A equação representa uma elipse. Para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de coordenadas que transforme essa elipse em um círculo.
Passo 3
Vamos usar a seguinte substituição:
Com essa mudança, a equação da elipse fica:
que é a equação de um círculo de raio 1 no plano .
Passo 4
Agora, calculamos o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é dado por:
Passo 5
Fazendo a mudança de variáveis, a integral original torna-se:
integral duplaD sin(9x^2+4 y^2) dA = integral duplau^2 + v^2 <= 1 sin(u^2 + v^2) times J , du , dv = 16 integral duplau^2 + v^2 <= 1 sin(u^2 + v^2) du dv
Passo 6
Agora, vamos mudar para coordenadas polares u = r costheta, v = r sintheta, no plano . Onde:
e o jacobiano dessa transformação é .
Passo 7
A integral se torna:
16 integral0^2pi integral0^1 sin(r^2) r , dr , dtheta
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 sin(r^2) r , dr :
12 integral0^1 sin(w) dw = 12 ( -cos w )0^1 = 12 ( -cos 1 + cos 0 ) = 12 (1 - cos 1)
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Portanto, a integral fica:
Passo 9
Agora, a integral total é:
16 times 2pi times 12 (1 - cos 1) = pi6 (1 - cos 1)