Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é delimitada pela elipse . Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas elípticas e conhecimentos sobre integrais duplas.
Passo 2
Vamos começar identificando a região de integração . A equação representa uma elipse. Para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de coordenadas que transforme essa elipse em um círculo.
Passo 3
Vamos usar a seguinte substituição:
Com essa mudança, a equação da elipse fica:
que é a equação de um círculo de raio 1 no plano .
Passo 4
Agora, calculamos o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é dado por:
Passo 5
Fazendo a mudança de variáveis, a integral original torna-se:
Passo 6
Agora, vamos mudar para coordenadas polares no plano . Onde:
e o jacobiano dessa transformação é .
Passo 7
A integral se torna:
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Portanto, a integral fica: