Calcular , sendo a região limitada pela elipse .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é delimitada pela elipse . Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas elípticas e conhecimentos sobre integrais duplas.

Passo 2

Vamos começar identificando a região de integração . A equação representa uma elipse. Para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de coordenadas que transforme essa elipse em um círculo.

Passo 3

Vamos usar a seguinte substituição:
Com essa mudança, a equação da elipse fica:
que é a equação de um círculo de raio 1 no plano .

Passo 4

Agora, calculamos o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é dado por:

Passo 5

Fazendo a mudança de variáveis, a integral original torna-se:

Passo 6

Agora, vamos mudar para coordenadas polares no plano . Onde:
e o jacobiano dessa transformação é .

Passo 7

A integral se torna:

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Portanto, a integral fica:

Passo 9

Agora, a integral total é:

Resposta

O valor da integral é .

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