Calcular integral duplaD sen(9 x^2+4 y^2) d A, sendo D a região limitada pela elipse 9 x^2+4 y^2=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é delimitada pela elipse . Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas elípticas e conhecimentos sobre integrais duplas.

Passo 2

Vamos começar identificando a região de integração . A equação representa uma elipse. Para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de coordenadas que transforme essa elipse em um círculo.

Passo 3

Vamos usar a seguinte substituição:
x = u3, y = v2
Com essa mudança, a equação da elipse fica:
9 (u3)^2 +4 (v2)^2 = u^2 + v^2 =1,
que é a equação de um círculo de raio 1 no plano .

Passo 4

Agora, calculamos o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano J = | cc partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v | = | cc 13 & 0 0 & 12 | = 13 times 12 = 16 é dado por:

Passo 5

Fazendo a mudança de variáveis, a integral original torna-se:
integral duplaD sin(9x^2+4 y^2) dA = integral duplau^2 + v^2 <= 1 sin(u^2 + v^2) times J , du , dv = 16 integral duplau^2 + v^2 <= 1 sin(u^2 + v^2) du dv

Passo 6

Agora, vamos mudar para coordenadas polares u = r costheta, v = r sintheta, no plano . Onde:
e o jacobiano dessa transformação é .

Passo 7

A integral se torna:
16 integral0^2pi integral0^1 sin(r^2) r , dr , dtheta

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a integral0^1 sin(r^2) r , dr :
12 integral0^1 sin(w) dw = 12 ( -cos w )0^1 = 12 ( -cos 1 + cos 0 ) = 12 (1 - cos 1)
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Portanto, a integral fica:

Passo 9

Agora, a integral total é:
16 times 2pi times 12 (1 - cos 1) = pi6 (1 - cos 1)

Resposta

O valor da integral é .

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